Theorem relelfvdm 5453

Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
relelfvdm	|- ( ( Rel F /\ A e. ( F ` B ) ) -> B e. dom F )

Proof of Theorem relelfvdm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5419	. . . . . 6 |- ( A e. ( F ` B ) <-> E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) )
2		exsimpr 1597	. . . . . 6 |- ( E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) -> E. x A. y ( B F y <-> y = x ) )
3	1, 2	sylbi 120	. . . . 5 |- ( A e. ( F ` B ) -> E. x A. y ( B F y <-> y = x ) )
4		equsb1 1758	. . . . . . . 8 |- [ x / y ] y = x
5		spsbbi 1816	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( B F y <-> y = x ) -> ( [ x / y ] B F y <-> [ x / y ] y = x ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( A. y ( B F y <-> y = x ) -> [ x / y ] B F y )
7		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ y B F x
8		breq2 3933	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( B F y <-> B F x ) )
9	7, 8	sbie 1764	. . . . . . 7 |- ( [ x / y ] B F y <-> B F x )
10	6, 9	sylib 121	. . . . . 6 |- ( A. y ( B F y <-> y = x ) -> B F x )
11	10	eximi 1579	. . . . 5 |- ( E. x A. y ( B F y <-> y = x ) -> E. x B F x )
12	3, 11	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( F ` B ) -> E. x B F x )
13	12	anim2i 339	. . 3 |- ( ( Rel F /\ A e. ( F ` B ) ) -> ( Rel F /\ E. x B F x ) )
14		19.42v 1878	. . 3 |- ( E. x ( Rel F /\ B F x ) <-> ( Rel F /\ E. x B F x ) )
15	13, 14	sylibr 133	. 2 |- ( ( Rel F /\ A e. ( F ` B ) ) -> E. x ( Rel F /\ B F x ) )
16		releldm 4774	. . 3 |- ( ( Rel F /\ B F x ) -> B e. dom F )
17	16	exlimiv 1577	. 2 |- ( E. x ( Rel F /\ B F x ) -> B e. dom F )
18	15, 17	syl 14	1 |- ( ( Rel F /\ A e. ( F ` B ) ) -> B e. dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   E.wex 1468   e. wcel 1480   [wsb 1735   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  mptrcl  5503  elfvmptrab1  5515  elmpocl  5968  oprssdmm  6069  mpoxopn0yelv  6136  eluzel2  9331  hashinfom  10524  istopon  12180  istps  12199  topontopn  12204  eltg4i  12224  eltg3  12226  tg1  12228  tg2  12229  tgclb  12234  cldrcl  12271  neiss2  12311  lmrcl  12360  cnprcl2k  12375  metflem  12518  xmetf  12519  ismet2  12523  xmeteq0  12528  xmettri2  12530  xmetpsmet  12538  xmetres2  12548  blfvalps  12554  blex  12556  blvalps  12557  blval  12558  blfps  12578  blf  12579  mopnval  12611  isxms2  12621  comet  12668