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Theorem reliun 4486
Description: An indexed union is a relation iff each member of its indexed family is a relation. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
reliun  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  Rel  B )

Proof of Theorem reliun
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 3687 . . 3  |-  U_ x  e.  A  B  =  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }
21releqi 4451 . 2  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  B 
<->  Rel  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }
)
3 df-rel 4380 . 2  |-  ( Rel 
{ y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  ( _V  X.  _V ) )
4 abss 3037 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  ( _V 
X.  _V )  <->  A. y
( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
5 df-rel 4380 . . . . . 6  |-  ( Rel 
B  <->  B  C_  ( _V 
X.  _V ) )
6 dfss2 2962 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
75, 6bitri 177 . . . . 5  |-  ( Rel 
B  <->  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
87ralbii 2347 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Rel  B  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
) )
9 ralcom4 2593 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
)  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
10 r19.23v 2442 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  -> 
y  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
1110albii 1375 . . . 4  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  A. y
( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
128, 9, 113bitri 199 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Rel  B  <->  A. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
) )
134, 12bitr4i 180 . 2  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  ( _V 
X.  _V )  <->  A. x  e.  A  Rel  B )
142, 3, 133bitri 199 1  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  Rel  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 102   A.wal 1257    e. wcel 1409   {cab 2042   A.wral 2323   E.wrex 2324   _Vcvv 2574    C_ wss 2945   U_ciun 3685    X. cxp 4371   Rel wrel 4378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-in 2952  df-ss 2959  df-iun 3687  df-rel 4380
This theorem is referenced by:  reluni  4488  eliunxp  4503  opeliunxp2  4504  dfco2  4848  coiun  4858
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