Theorem relopabi 4665

Description: A class of ordered pairs is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
relopabi.1	|- A = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
relopabi	|- Rel A

Proof of Theorem relopabi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabi.1	. . . 4 |- A = { <. x , y >. | ph }
2		df-opab 3990	. . . 4 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
3	1, 2	eqtri 2160	. . 3 |- A = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
4		vex 2689	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5		vex 2689	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	4, 5	opelvv 4589	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. ( _V X. _V )
7		eleq1 2202	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( _V X. _V ) <-> <. x , y >. e. ( _V X. _V ) ) )
8	6, 7	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> z e. ( _V X. _V ) )
9	8	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
10	9	exlimivv 1868	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
11	10	abssi 3172	. . 3 |- { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } C_ ( _V X. _V )
12	3, 11	eqsstri 3129	. 2 |- A C_ ( _V X. _V )
13		df-rel 4546	. 2 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14	12, 13	mpbir 145	1 |- Rel A

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   <.cop 3530   {copab 3988   X. cxp 4537   Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546

This theorem is referenced by:  relopab  4666  mptrel  4667  reli  4668  rele  4669  relcnv  4917  cotr  4920  relco  5037  reloprab  5819  reldmoprab  5856  eqer  6461  ecopover  6527  ecopoverg  6530  relen  6638  reldom  6639  enq0er  7243  aprcl  8408  climrel  11049  brstruct  11968