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Theorem remullem 9896
Description: Lemma for remul 9897, immul 9904, and cjmul 9910. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  /\  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  /\  ( * `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( * `
 B ) ) ) )

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 9884 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2 replim 9884 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
31, 2oveqan12d 5562 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
4 recl 9878 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
54adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
65recnd 7209 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
7 ax-icn 7133 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
8 imcl 9879 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
98adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
109recnd 7209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
11 mulcl 7162 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
127, 10, 11sylancr 405 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
136, 12addcld 7200 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  e.  CC )
14 recl 9878 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1514adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1615recnd 7209 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
17 imcl 9879 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1817adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1918recnd 7209 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
20 mulcl 7162 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
217, 19, 20sylancr 405 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2213, 16, 21adddid 7205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
236, 12, 16adddird 7206 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
246, 12, 21adddird 7206 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
2523, 24oveq12d 5561 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) ) )  +  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) ) )
265, 15remulcld 7211 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  RR )
2726recnd 7209 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
2812, 21mulcld 7201 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
2912, 16mulcld 7201 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
306, 21mulcld 7201 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
3127, 28, 29, 30add42d 7345 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  +  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) ) )  +  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
327a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
3332, 10, 32, 19mul4d 7330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
34 ixi 7750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
3534oveq1i 5553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )
369, 18remulcld 7211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  RR )
3736recnd 7209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
3837mulm1d 7581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  =  -u ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )
3935, 38syl5eq 2126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
4033, 39eqtrd 2114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )
4140oveq2d 5559 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
4227, 37negsubd 7492 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  -u ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
4341, 42eqtrd 2114 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
449, 15remulcld 7211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  RR )
4544recnd 7209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
46 mulcl 7162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  CC )
477, 45, 46sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  CC )
485, 18remulcld 7211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  RR )
4948recnd 7209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
50 mulcl 7162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  CC )
517, 49, 50sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  CC )
5247, 51addcomd 7326 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5332, 10, 16mulassd 7204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) )
546, 32, 19mul12d 7327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
5553, 54oveq12d 5561 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
5632, 49, 45adddid 7205 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5752, 55, 563eqtr4d 2124 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5843, 57oveq12d 5561 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  +  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) )
5925, 31, 583eqtr2d 2120 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )
603, 22, 593eqtrd 2118 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) ) )
6160fveq2d 5213 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( Re
`  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) ) )
6226, 36resubcld 7552 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR )
6348, 44readdcld 7210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )
64 crre 9882 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
6562, 63, 64syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
6661, 65eqtrd 2114 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
6760fveq2d 5213 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( Im
`  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) ) )
68 crim 9883 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
6962, 63, 68syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
7067, 69eqtrd 2114 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
71 mulcl 7162 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
72 remim 9885 . . . 4  |-  ( ( A  x.  B )  e.  CC  ->  (
* `  ( A  x.  B ) )  =  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  x.  B
) ) ) ) )
7371, 72syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
74 remim 9885 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
75 remim 9885 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  =  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
7674, 75oveqan12d 5562 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
7716, 21subcld 7486 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
786, 12, 77subdird 7586 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
7927, 30, 29, 28subadd4d 7534 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
806, 16, 21subdid 7585 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
8112, 16, 21subdid 7585 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
8280, 81oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
8365, 61, 433eqtr4d 2124 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
8470oveq2d 5559 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
8554, 53oveq12d 5561 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
8656, 84, 853eqtr4d 2124 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
8783, 86oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  x.  B
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
8879, 82, 873eqtr4d 2124 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( Re
`  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
8976, 78, 883eqtrd 2118 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
9073, 89eqtr4d 2117 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( * `  B ) ) )
9166, 70, 903jca 1119 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  /\  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  /\  ( * `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( * `
 B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   1c1 7044   _ici 7045    + caddc 7046    x. cmul 7048    - cmin 7346   -ucneg 7347   *ccj 9864   Recre 9865   Imcim 9866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-2 8165  df-cj 9867  df-re 9868  df-im 9869
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