Theorem renemnf 7807

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 7801	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2403	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2200	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 664	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2360	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   RRcr 7612   -oocmnf 7791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-pnf 7795  df-mnf 7796

This theorem is referenced by:  renemnfd  7810  renfdisj  7817  ltxrlt  7823  xrnemnf  9557  xrlttri3  9576  ngtmnft  9593  xrrebnd  9595  rexneg  9606  xrmnfdc  9619  rexadd  9628  xaddnemnf  9633  xaddcom  9637  xaddid1  9638  xnegdi  9644  xpncan  9647  xleadd1a  9649  xltadd1  9652  xposdif  9658  xrmaxrecl  11017  isxmet2d  12506