Theorem resasplitss 5297

Description: If two functions agree on their common domain, their union contains a union of three functions with pairwise disjoint domains. If we assumed the law of the excluded middle, this would be equality rather than subset. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resasplitss	|- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Proof of Theorem resasplitss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 3214	. . . 4 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) = ( F |` ( A i^i B ) )
2	1	uneq1i 3221	. . 3 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
3		un4 3231	. . . 4 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
4		simp3 983	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) )
5	4	uneq1d 3224	. . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
6	5	uneq2d 3225	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) )
7		resundi 4827	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) )
8		inundifss 3435	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A
9		ssres2 4841	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A -> ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
11	7, 10	eqsstrri 3125	. . . . . 6 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
12		resundi 4827	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) )
13		incom 3263	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
14	13	uneq1i 3221	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) = ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) )
15		inundifss 3435	. . . . . . . . 9 |- ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) ) C_ B
16	14, 15	eqsstri 3124	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B
17		ssres2 4841	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B -> ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
19	12, 18	eqsstrri 3125	. . . . . 6 |- ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
20		unss12 3243	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) /\ ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
21	11, 19, 20	mp2an 422	. . . . 5 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) )
22	6, 21	eqsstrdi 3144	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
23	3, 22	eqsstrrid 3139	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
24	2, 23	eqsstrrid 3139	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
25		fnresdm 5227	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
26		fnresdm 5227	. . . 4 |- ( G Fn B -> ( G |` B ) = G )
27		uneq12 3220	. . . 4 |- ( ( ( F |` A ) = F /\ ( G |` B ) = G ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
28	25, 26, 27	syl2an 287	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
29	28	3adant3 1001	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
30	24, 29	sseqtrd 3130	1 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   \ cdif 3063   u. cun 3064   i^i cin 3065   C_ wss 3066   |` cres 4536   Fn wfn 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-dm 4544  df-res 4546  df-fun 5120  df-fn 5121

This theorem is referenced by: (None)