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Theorem resasplitss 5120
Description: If two functions agree on their common domain, their union contains a union of three functions with pairwise disjoint domains. If we assumed the law of the excluded middle, this would be equality rather than subset. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
resasplitss  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( F  u.  G ) )

Proof of Theorem resasplitss
StepHypRef Expression
1 unidm 3125 . . . 4  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( F  |`  ( A  i^i  B
) )
21uneq1i 3132 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
3 un4 3142 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) )
4 simp3 941 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )
54uneq1d 3135 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
65uneq2d 3136 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
7 resundi 4673 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )
8 inundifss 3337 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  C_  A
9 ssres2 4686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  A  ->  ( F  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B
) ) )  C_  ( F  |`  A ) )
108, 9ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) )  C_  ( F  |`  A )
117, 10eqsstr3i 3039 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  C_  ( F  |`  A )
12 resundi 4673 . . . . . . 7  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
13 incom 3174 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
1413uneq1i 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B 
\  A ) )
15 inundifss 3337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  C_  B
1614, 15eqsstri 3038 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  C_  B
17 ssres2 4686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  ( B 
\  A ) ) 
C_  B  ->  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  C_  ( G  |`  B ) )
1816, 17ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  C_  ( G  |`  B )
1912, 18eqsstr3i 3039 . . . . . 6  |-  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  C_  ( G  |`  B )
20 unss12 3154 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  C_  ( F  |`  A )  /\  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) 
C_  ( G  |`  B ) )  -> 
( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) ) )
2111, 19, 20mp2an 417 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  (
( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )
226, 21syl6eqss 3058 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) ) 
C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) ) )
233, 22syl5eqssr 3053 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B
) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) ) 
C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) ) )
242, 23syl5eqssr 3053 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) ) )
25 fnresdm 5059 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
26 fnresdm 5059 . . . 4  |-  ( G  Fn  B  ->  ( G  |`  B )  =  G )
27 uneq12 3131 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A )  =  F  /\  ( G  |`  B )  =  G )  ->  (
( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( F  u.  G
) )
2825, 26, 27syl2an 283 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B )  ->  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( F  u.  G ) )
29283adant3 959 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( F  u.  G
) )
3024, 29sseqtrd 3044 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( F  u.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 920    = wceq 1285    \ cdif 2979    u. cun 2980    i^i cin 2981    C_ wss 2982    |` cres 4393    Fn wfn 4947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-rel 4398  df-dm 4401  df-res 4403  df-fun 4954  df-fn 4955
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