Theorem rescnvcnv 4834

Description: The restriction of the double converse of a class. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rescnvcnv	|- ( `' `' A |` B ) = ( A |` B )

Proof of Theorem rescnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv2 4825	. . 3 |- `' `' A = ( A |` _V )
2	1	reseq1i 4657	. 2 |- ( `' `' A |` B ) = ( ( A |` _V ) |` B )
3		resres 4673	. 2 |- ( ( A |` _V ) |` B ) = ( A |` ( _V i^i B ) )
4		ssv 3029	. . . 4 |- B C_ _V
5		sseqin2 3202	. . . 4 |- ( B C_ _V <-> ( _V i^i B ) = B )
6	4, 5	mpbi 143	. . 3 |- ( _V i^i B ) = B
7	6	reseq2i 4658	. 2 |- ( A |` ( _V i^i B ) ) = ( A |` B )
8	2, 3, 7	3eqtri 2107	1 |- ( `' `' A |` B ) = ( A |` B )

Syntax hints:   = wceq 1285   _Vcvv 2610   i^i cin 2982   C_ wss 2983   `'ccnv 4391   |` cres 4394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-br 3807  df-opab 3861  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-res 4404

This theorem is referenced by:  cnvcnvres  4835  imacnvcnv  4836  resdm2  4862  resdmres  4863  coires1  4889  f1oresrab  5382