Theorem resdm 4697

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	|- ( Rel A -> ( A |` dom A ) = A )

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3027	. 2 |- dom A C_ dom A
2		relssres 4696	. 2 |- ( ( Rel A /\ dom A C_ dom A ) -> ( A |` dom A ) = A )
3	1, 2	mpan2 416	1 |- ( Rel A -> ( A |` dom A ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1285   C_ wss 2982   dom cdm 4391   |` cres 4393   Rel wrel 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-rel 4398  df-dm 4401  df-res 4403

This theorem is referenced by:  resindm  4700  resdm2  4861  relresfld  4897  relcoi1  4899  funimaexg  5034  fnex  5435  dftpos2  5930  dif1en  6435