Theorem resopab 4858

Description: Restriction of a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 5-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
resopab	|- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem resopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4546	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) )
2		df-xp 4540	. . . . . 6 |- ( A X. _V ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. _V ) }
3		vex 2684	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	3	biantru 300	. . . . . . 7 |- ( x e. A <-> ( x e. A /\ y e. _V ) )
5	4	opabbii 3990	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | x e. A } = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. _V ) }
6	2, 5	eqtr4i 2161	. . . . 5 |- ( A X. _V ) = { <. x , y >. | x e. A }
7	6	ineq2i 3269	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = ( { <. x , y >. | ph } i^i { <. x , y >. | x e. A } )
8		incom 3263	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i { <. x , y >. | x e. A } ) = ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } )
9	7, 8	eqtri 2158	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } )
10		inopab 4666	. . 3 |- ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
11	9, 10	eqtri 2158	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
12	1, 11	eqtri 2158	1 |- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   i^i cin 3065   {copab 3983   X. cxp 4532   |` cres 4536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-res 4546

This theorem is referenced by:  resopab2  4861  opabresid  4867  mptpreima  5027  isarep2  5205  resoprab  5860  df1st2  6109  df2nd2  6110