ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resopab Unicode version

Theorem resopab 4680
Description: Restriction of a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 5-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
resopab  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  |`  A )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem resopab
StepHypRef Expression
1 df-res 4385 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  |`  A )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  i^i  ( A  X.  _V ) )
2 df-xp 4379 . . . . . 6  |-  ( A  X.  _V )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  _V ) }
3 vex 2577 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
43biantru 290 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  _V ) )
54opabbii 3852 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  x  e.  A }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  _V ) }
62, 5eqtr4i 2079 . . . . 5  |-  ( A  X.  _V )  =  { <. x ,  y
>.  |  x  e.  A }
76ineq2i 3163 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  i^i  ( A  X.  _V ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  i^i  { <. x ,  y >.  |  x  e.  A } )
8 incom 3157 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  i^i  { <. x ,  y >.  |  x  e.  A } )  =  ( { <. x ,  y
>.  |  x  e.  A }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ph } )
97, 8eqtri 2076 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  i^i  ( A  X.  _V ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  x  e.  A }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ph } )
10 inopab 4496 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  x  e.  A }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ph } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
119, 10eqtri 2076 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  i^i  ( A  X.  _V ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
121, 11eqtri 2076 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  |`  A )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409   _Vcvv 2574    i^i cin 2944   {copab 3845    X. cxp 4371    |` cres 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-opab 3847  df-xp 4379  df-rel 4380  df-res 4385
This theorem is referenced by:  resopab2  4683  opabresid  4687  mptpreima  4842  isarep2  5014  resoprab  5625  df1st2  5868  df2nd2  5869
  Copyright terms: Public domain W3C validator