ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlem1arp Unicode version

Theorem resqrexlem1arp 10029
Description: Lemma for resqrex 10050.  1  +  A is a positive real (expressed in a way that will help apply iseqfcl 9535 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlem1arp  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  e.  RR+ )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlem1arp
StepHypRef Expression
1 1red 7196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
2 resqrexlemex.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
41, 3readdcld 7210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  A )  e.  RR )
5 0lt1 7303 . . . . . 6  |-  0  <  1
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  1 )
7 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
87adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  A )
9 addgtge0 7621 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  <  1  /\  0  <_  A ) )  -> 
0  <  ( 1  +  A ) )
101, 3, 6, 8, 9syl22anc 1171 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  +  A
) )
114, 10elrpd 8852 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  A )  e.  RR+ )
12 fvconst2g 5407 . . 3  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  RR+  /\  N  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( 1  +  A
) } ) `  N )  =  ( 1  +  A ) )
1311, 12sylancom 411 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  =  ( 1  +  A ) )
1413, 11eqeltrd 2156 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   {csn 3406   class class class wbr 3793    X. cxp 4369   ` cfv 4932  (class class class)co 5543    |-> cmpt2 5545   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216    / cdiv 7827   NNcn 8106   2c2 8156   RR+crp 8815    seqcseq 9521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-ov 5546  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-rp 8816
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10031  resqrexlemf1  10032  resqrexlemfp1  10033
  Copyright terms: Public domain W3C validator