Theorem resqrexlemcalc1 9833

Description: Lemma for resqrex 9845. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc1	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 9828	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) )
5	4	oveq1d 5554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
6	1, 2, 3	resqrexlemf 9826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
7	6	ffvelrnda 5329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
8	7	rpred 8719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
9	2	adantr 265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 7	rerpdivcld 8751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. RR )
11	8, 10	readdcld 7113	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. RR )
12	11	recnd 7112	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. CC )
13		2cnd 8062	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. CC )
14		2ap0 8082	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
15	14	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 # 0 )
16	12, 13, 15	sqdivapd 9555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
17	5, 16	eqtrd 2088	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
18		sq2 9509	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
19	18	oveq2i 5550	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 )
20	17, 19	syl6eq 2104	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) )
21	9	recnd 7112	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. CC )
22		4cn 8067	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. CC )
24		4re 8066	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR )
26		4pos 8086	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 4 )
28	25, 27	gt0ap0d 7692	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 # 0 )
29	21, 23, 28	divcanap3d 7844	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 4 x. A ) / 4 ) = A )
30	29	eqcomd 2061	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A = ( ( 4 x. A ) / 4 ) )
31	20, 30	oveq12d 5557	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
32	12	sqcld 9540	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
33	23, 21	mulcld 7104	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 4 x. A ) e. CC )
34	32, 33, 23, 28	divsubdirapd 7878	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2091	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) )
36	8	recnd 7112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
37	36	sqcld 9540	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC )
38	13, 21	mulcld 7104	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
39	37, 38, 33	addsubassd 7404	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) )
40		2cn 8060	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
41	22, 40	negsubdi2i 7359	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = ( 2 - 4 )
42		2p2e4 8109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 2 ) = 4
43	42	oveq1i 5549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = ( 4 - 2 )
44	40, 40	pncan3oi 7289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = 2
45	43, 44	eqtr3i 2078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 2 ) = 2
46	45	negeqi 7267	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = -u 2
47	41, 46	eqtr3i 2078	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - 4 ) = -u 2
48	47	oveq1i 5549	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( -u 2 x. A )
49	13, 23, 21	subdird 7483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) )
50	13, 21	mulneg1d 7479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( -u 2 x. A ) = -u ( 2 x. A ) )
51	48, 49, 50	3eqtr3a 2112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) = -u ( 2 x. A ) )
52	51	oveq2d 5555	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) )
53	37, 38	negsubd 7390	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
54	39, 52, 53	3eqtrd 2092	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
55	54	oveq1d 5554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
56	10	recnd 7112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. CC )
57		binom2 9522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( A / ( F ` N ) ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
58	36, 56, 57	syl2anc 397	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
59	7	rpap0d 8725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) # 0 )
60	21, 36, 59	divcanap2d 7841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) = A )
61	60	oveq2d 5555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) = ( 2 x. A ) )
62	61	oveq2d 5555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) )
63	62	oveq1d 5554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
64	58, 63	eqtrd 2088	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
65	64	oveq1d 5554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) )
66	37, 38	addcld 7103	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) e. CC )
67	56	sqcld 9540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) e. CC )
68	66, 67, 33	addsubd 7405	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
69	65, 68	eqtrd 2088	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
70	37, 38	subcld 7384	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) e. CC )
71	70, 67	addcld 7103	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
72		2z 8329	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. ZZ )
74	7, 73	rpexpcld 9566	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR+ )
75	74	rpap0d 8725	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) # 0 )
76	71, 37, 75	divcanap4d 7845	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
77	55, 69, 76	3eqtr4d 2098	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
78	37, 38, 37	subdird 7483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
79	37	sqvald 9539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
80	13, 21, 37	mul32d 7226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) )
81	13, 37, 21	mulassd 7107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) )
82	80, 81	eqtr2d 2089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
83	79, 82	oveq12d 5557	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtr4d 2091	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) )
85	21, 36, 59	sqdivapd 9555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
86	85	oveq1d 5554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
87	21	sqcld 9540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
88	87, 37, 75	divcanap1d 7840	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
89	86, 88	eqtrd 2088	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
90	84, 89	oveq12d 5557	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
91	70, 67, 37	adddird 7109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
92		binom2sub 9524	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
93	37, 21, 92	syl2anc 397	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
94	90, 91, 93	3eqtr4d 2098	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) )
95	94	oveq1d 5554	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
96	77, 95	eqtrd 2088	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 5554	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) )
98	37, 21	subcld 7384	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. CC )
99	98	sqcld 9540	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) e. CC )
100	99, 37, 23, 75, 28	divdivap1d 7870	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
101	37, 23	mulcomd 7105	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) = ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
102	101	oveq2d 5555	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
103	100, 102	eqtrd 2088	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
104	35, 97, 103	3eqtrd 2092	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 101   = wceq 1259   e. wcel 1409   {csn 3402   class class class wbr 3791   X. cxp 4370   ` cfv 4929  (class class class)co 5539   |-> cmpt2 5541   CCcc 6944   RRcr 6945   0cc0 6946   1c1 6947   + caddc 6949   x. cmul 6951   < clt 7118   <_ cle 7119   - cmin 7244   -ucneg 7245   # cap 7645   / cdiv 7724   NNcn 7989   2c2 8039   4c4 8041   ZZcz 8301   RR+crp 8680   seqcseq 9369   ^cexp 9413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9370  df-iexp 9414

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  9834