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Theorem resqrexlemcalc1 10754
Description: Lemma for resqrex 10766. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemfp1 10749 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) )  /  2
) )
54oveq1d 5757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )
61, 2, 3resqrexlemf 10747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
76ffvelrnda 5523 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
87rpred 9451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
92adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
109, 7rerpdivcld 9483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  RR )
118, 10readdcld 7763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  RR )
1211recnd 7762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  CC )
13 2cnd 8761 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
14 2ap0 8781 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
1514a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2 #  0 )
1612, 13, 15sqdivapd 10405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
175, 16eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
18 sq2 10356 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1918oveq2i 5753 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
)
2017, 19syl6eq 2166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
219recnd 7762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
22 4cn 8766 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
2322a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
24 4re 8765 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
2524a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
26 4pos 8785 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  4 )
2825, 27gt0ap0d 8359 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4 #  0 )
2921, 23, 28divcanap3d 8523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  A )  /  4 )  =  A )
3029eqcomd 2123 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( 4  x.  A )  /  4
) )
3120, 30oveq12d 5760 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3212sqcld 10390 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
3323, 21mulcld 7754 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  CC )
3432, 33, 23, 28divsubdirapd 8558 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3531, 34eqtr4d 2153 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
368recnd 7762 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
3736sqcld 10390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
3813, 21mulcld 7754 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
3937, 38, 33addsubassd 8061 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  A
)  -  ( 4  x.  A ) ) ) )
40 2cn 8759 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4122, 40negsubdi2i 8016 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  ( 2  -  4 )
42 2p2e4 8815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  2 )  =  4
4342oveq1i 5752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  ( 4  -  2 )
4440, 40pncan3oi 7946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  2
4543, 44eqtr3i 2140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  -  2 )  =  2
4645negeqi 7924 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  -u 2
4741, 46eqtr3i 2140 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  4 )  = 
-u 2
4847oveq1i 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( -u 2  x.  A )
4913, 23, 21subdird 8145 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  A )  -  (
4  x.  A ) ) )
5013, 21mulneg1d 8141 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( -u
2  x.  A )  =  -u ( 2  x.  A ) )
5148, 49, 503eqtr3a 2174 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A ) )  = 
-u ( 2  x.  A ) )
5251oveq2d 5758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A
) ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  -u ( 2  x.  A
) ) )
5337, 38negsubd 8047 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  -u ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5439, 52, 533eqtrd 2154 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5554oveq1d 5757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
5610recnd 7762 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  CC )
57 binom2 10371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  N )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) ) )
5836, 56, 57syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( F `  N
)  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
597rpap0d 9457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N ) #  0 )
6021, 36, 59divcanap2d 8520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) )  =  A )
6160oveq2d 5758 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
6261oveq2d 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) ) )
6362oveq1d 5757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6458, 63eqtrd 2150 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6564oveq1d 5757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 ) )  -  (
4  x.  A ) ) )
6637, 38addcld 7753 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
6756sqcld 10390 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6866, 67, 33addsubd 8062 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6965, 68eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7037, 38subcld 8041 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
7170, 67addcld 7753 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  e.  CC )
72 2z 9050 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
7372a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
747, 73rpexpcld 10416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR+ )
7574rpap0d 9457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 ) #  0 )
7671, 37, 75divcanap4d 8524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7755, 69, 763eqtr4d 2160 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
7837, 38, 37subdird 8145 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
7937sqvald 10389 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8013, 21, 37mul32d 7883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A
) )
8113, 37, 21mulassd 7757 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )
8280, 81eqtr2d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8379, 82oveq12d 5760 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
8478, 83eqtr4d 2153 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  A ) ) ) )
8521, 36, 59sqdivapd 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8685oveq1d 5757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8721sqcld 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
8887, 37, 75divcanap1d 8519 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
8986, 88eqtrd 2150 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
9084, 89oveq12d 5760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9170, 67, 37adddird 7759 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
92 binom2sub 10373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^
2 ) ) )
9337, 21, 92syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9490, 91, 933eqtr4d 2160 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 ) )
9594oveq1d 5757 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9677, 95eqtrd 2150 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9796oveq1d 5757 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4
) )
9837, 21subcld 8041 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  CC )
9998sqcld 10390 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  e.  CC )
10099, 37, 23, 75, 28divdivap1d 8550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) ) )
10137, 23mulcomd 7755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  4 )  =  ( 4  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
102101oveq2d 5758 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) ^ 2 )  /  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
103100, 102eqtrd 2150 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
10435, 97, 1033eqtrd 2154 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   {csn 3497   class class class wbr 3899    X. cxp 4507   ` cfv 5093  (class class class)co 5742    e. cmpo 5744   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   -ucneg 7902   # cap 8311    / cdiv 8400   NNcn 8688   2c2 8739   4c4 8741   ZZcz 9022   RR+crp 9409    seqcseq 10186   ^cexp 10260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  10755
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