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Theorem resqrexlemcalc1 9833
Description: Lemma for resqrex 9845. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemfp1 9828 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) )  /  2
) )
54oveq1d 5554 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )
61, 2, 3resqrexlemf 9826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
76ffvelrnda 5329 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
87rpred 8719 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
92adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
109, 7rerpdivcld 8751 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  RR )
118, 10readdcld 7113 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  RR )
1211recnd 7112 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  CC )
13 2cnd 8062 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
14 2ap0 8082 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
1514a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2 #  0 )
1612, 13, 15sqdivapd 9555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
175, 16eqtrd 2088 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
18 sq2 9509 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1918oveq2i 5550 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
)
2017, 19syl6eq 2104 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
219recnd 7112 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
22 4cn 8067 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
2322a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
24 4re 8066 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
2524a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
26 4pos 8086 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  4 )
2825, 27gt0ap0d 7692 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4 #  0 )
2921, 23, 28divcanap3d 7844 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  A )  /  4 )  =  A )
3029eqcomd 2061 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( 4  x.  A )  /  4
) )
3120, 30oveq12d 5557 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3212sqcld 9540 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
3323, 21mulcld 7104 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  CC )
3432, 33, 23, 28divsubdirapd 7878 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3531, 34eqtr4d 2091 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
368recnd 7112 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
3736sqcld 9540 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
3813, 21mulcld 7104 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
3937, 38, 33addsubassd 7404 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  A
)  -  ( 4  x.  A ) ) ) )
40 2cn 8060 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4122, 40negsubdi2i 7359 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  ( 2  -  4 )
42 2p2e4 8109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  2 )  =  4
4342oveq1i 5549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  ( 4  -  2 )
4440, 40pncan3oi 7289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  2
4543, 44eqtr3i 2078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  -  2 )  =  2
4645negeqi 7267 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  -u 2
4741, 46eqtr3i 2078 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  4 )  = 
-u 2
4847oveq1i 5549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( -u 2  x.  A )
4913, 23, 21subdird 7483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  A )  -  (
4  x.  A ) ) )
5013, 21mulneg1d 7479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( -u
2  x.  A )  =  -u ( 2  x.  A ) )
5148, 49, 503eqtr3a 2112 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A ) )  = 
-u ( 2  x.  A ) )
5251oveq2d 5555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A
) ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  -u ( 2  x.  A
) ) )
5337, 38negsubd 7390 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  -u ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5439, 52, 533eqtrd 2092 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5554oveq1d 5554 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
5610recnd 7112 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  CC )
57 binom2 9522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  N )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) ) )
5836, 56, 57syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( F `  N
)  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
597rpap0d 8725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N ) #  0 )
6021, 36, 59divcanap2d 7841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) )  =  A )
6160oveq2d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
6261oveq2d 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) ) )
6362oveq1d 5554 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6458, 63eqtrd 2088 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6564oveq1d 5554 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 ) )  -  (
4  x.  A ) ) )
6637, 38addcld 7103 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
6756sqcld 9540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6866, 67, 33addsubd 7405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6965, 68eqtrd 2088 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7037, 38subcld 7384 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
7170, 67addcld 7103 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  e.  CC )
72 2z 8329 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
7372a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
747, 73rpexpcld 9566 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR+ )
7574rpap0d 8725 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 ) #  0 )
7671, 37, 75divcanap4d 7845 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7755, 69, 763eqtr4d 2098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
7837, 38, 37subdird 7483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
7937sqvald 9539 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8013, 21, 37mul32d 7226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A
) )
8113, 37, 21mulassd 7107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )
8280, 81eqtr2d 2089 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8379, 82oveq12d 5557 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
8478, 83eqtr4d 2091 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  A ) ) ) )
8521, 36, 59sqdivapd 9555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8685oveq1d 5554 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8721sqcld 9540 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
8887, 37, 75divcanap1d 7840 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
8986, 88eqtrd 2088 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
9084, 89oveq12d 5557 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9170, 67, 37adddird 7109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
92 binom2sub 9524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^
2 ) ) )
9337, 21, 92syl2anc 397 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9490, 91, 933eqtr4d 2098 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 ) )
9594oveq1d 5554 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9677, 95eqtrd 2088 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9796oveq1d 5554 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4
) )
9837, 21subcld 7384 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  CC )
9998sqcld 9540 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  e.  CC )
10099, 37, 23, 75, 28divdivap1d 7870 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) ) )
10137, 23mulcomd 7105 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  4 )  =  ( 4  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
102101oveq2d 5555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) ^ 2 )  /  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
103100, 102eqtrd 2088 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
10435, 97, 1033eqtrd 2092 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409   {csn 3402   class class class wbr 3791    X. cxp 4370   ` cfv 4929  (class class class)co 5539    |-> cmpt2 5541   CCcc 6944   RRcr 6945   0cc0 6946   1c1 6947    + caddc 6949    x. cmul 6951    < clt 7118    <_ cle 7119    - cmin 7244   -ucneg 7245   # cap 7645    / cdiv 7724   NNcn 7989   2c2 8039   4c4 8041   ZZcz 8301   RR+crp 8680    seqcseq 9369   ^cexp 9413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9370  df-iexp 9414
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  9834
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