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Theorem resqrexlemcalc1 10119
Description: Lemma for resqrex 10131. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemfp1 10114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) )  /  2
) )
54oveq1d 5579 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )
61, 2, 3resqrexlemf 10112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
76ffvelrnda 5355 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
87rpred 8924 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
92adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
109, 7rerpdivcld 8956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  RR )
118, 10readdcld 7280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  RR )
1211recnd 7279 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  CC )
13 2cnd 8249 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
14 2ap0 8269 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
1514a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2 #  0 )
1612, 13, 15sqdivapd 9785 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
175, 16eqtrd 2115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
18 sq2 9738 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1918oveq2i 5575 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
)
2017, 19syl6eq 2131 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
219recnd 7279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
22 4cn 8254 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
2322a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
24 4re 8253 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
2524a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
26 4pos 8273 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  4 )
2825, 27gt0ap0d 7865 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4 #  0 )
2921, 23, 28divcanap3d 8019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  A )  /  4 )  =  A )
3029eqcomd 2088 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( 4  x.  A )  /  4
) )
3120, 30oveq12d 5582 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3212sqcld 9770 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
3323, 21mulcld 7271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  CC )
3432, 33, 23, 28divsubdirapd 8053 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3531, 34eqtr4d 2118 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
368recnd 7279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
3736sqcld 9770 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
3813, 21mulcld 7271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
3937, 38, 33addsubassd 7576 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  A
)  -  ( 4  x.  A ) ) ) )
40 2cn 8247 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4122, 40negsubdi2i 7531 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  ( 2  -  4 )
42 2p2e4 8296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  2 )  =  4
4342oveq1i 5574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  ( 4  -  2 )
4440, 40pncan3oi 7461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  2
4543, 44eqtr3i 2105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  -  2 )  =  2
4645negeqi 7439 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  -u 2
4741, 46eqtr3i 2105 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  4 )  = 
-u 2
4847oveq1i 5574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( -u 2  x.  A )
4913, 23, 21subdird 7656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  A )  -  (
4  x.  A ) ) )
5013, 21mulneg1d 7652 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( -u
2  x.  A )  =  -u ( 2  x.  A ) )
5148, 49, 503eqtr3a 2139 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A ) )  = 
-u ( 2  x.  A ) )
5251oveq2d 5580 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A
) ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  -u ( 2  x.  A
) ) )
5337, 38negsubd 7562 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  -u ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5439, 52, 533eqtrd 2119 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5554oveq1d 5579 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
5610recnd 7279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  CC )
57 binom2 9752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  N )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) ) )
5836, 56, 57syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( F `  N
)  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
597rpap0d 8930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N ) #  0 )
6021, 36, 59divcanap2d 8016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) )  =  A )
6160oveq2d 5580 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
6261oveq2d 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) ) )
6362oveq1d 5579 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6458, 63eqtrd 2115 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6564oveq1d 5579 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 ) )  -  (
4  x.  A ) ) )
6637, 38addcld 7270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
6756sqcld 9770 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6866, 67, 33addsubd 7577 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6965, 68eqtrd 2115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7037, 38subcld 7556 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
7170, 67addcld 7270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  e.  CC )
72 2z 8530 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
7372a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
747, 73rpexpcld 9796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR+ )
7574rpap0d 8930 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 ) #  0 )
7671, 37, 75divcanap4d 8020 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7755, 69, 763eqtr4d 2125 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
7837, 38, 37subdird 7656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
7937sqvald 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8013, 21, 37mul32d 7398 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A
) )
8113, 37, 21mulassd 7274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )
8280, 81eqtr2d 2116 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8379, 82oveq12d 5582 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
8478, 83eqtr4d 2118 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  A ) ) ) )
8521, 36, 59sqdivapd 9785 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8685oveq1d 5579 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8721sqcld 9770 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
8887, 37, 75divcanap1d 8015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
8986, 88eqtrd 2115 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
9084, 89oveq12d 5582 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9170, 67, 37adddird 7276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
92 binom2sub 9754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^
2 ) ) )
9337, 21, 92syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9490, 91, 933eqtr4d 2125 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 ) )
9594oveq1d 5579 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9677, 95eqtrd 2115 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9796oveq1d 5579 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4
) )
9837, 21subcld 7556 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  CC )
9998sqcld 9770 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  e.  CC )
10099, 37, 23, 75, 28divdivap1d 8045 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) ) )
10137, 23mulcomd 7272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  4 )  =  ( 4  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
102101oveq2d 5580 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) ^ 2 )  /  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
103100, 102eqtrd 2115 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
10435, 97, 1033eqtrd 2119 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   {csn 3416   class class class wbr 3805    X. cxp 4389   ` cfv 4952  (class class class)co 5564    |-> cmpt2 5566   CCcc 7111   RRcr 7112   0cc0 7113   1c1 7114    + caddc 7116    x. cmul 7118    < clt 7285    <_ cle 7286    - cmin 7416   -ucneg 7417   # cap 7818    / cdiv 7897   NNcn 8176   2c2 8226   4c4 8228   ZZcz 8502   RR+crp 8885    seqcseq 9591   ^cexp 9642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-rp 8886  df-iseq 9592  df-iexp 9643
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  10120
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