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Theorem resqrexlemcalc3 10040
Description: Lemma for resqrex 10050. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  ( F `  w )  =  ( F ` 
1 ) )
21oveq1d 5558 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 1 ) ^
2 ) )
32oveq1d 5558 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  -  A ) )
4 oveq1 5550 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
w  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
54oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) )
65oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
1  -  1 ) ) ) )
73, 6breq12d 3806 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) )
87imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) ) )
9 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
109oveq1d 5558 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
1110oveq1d 5558 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A ) )
12 oveq1 5550 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
w  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
1312oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )
1413oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )
1511, 14breq12d 3806 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )
1615imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
17 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
1817oveq1d 5558 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )
1918oveq1d 5558 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A ) )
20 oveq1 5550 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
w  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
2120oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )
2221oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
2319, 22breq12d 3806 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
2423imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
25 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( F `  w )  =  ( F `  N ) )
2625oveq1d 5558 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )
2726oveq1d 5558 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) )
28 oveq1 5550 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
w  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
2928oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
3029oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
3127, 30breq12d 3806 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
3231imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
33 resqrexlemex.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3433renegcld 7551 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  RR )
35 0red 7182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
36 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . 10  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
37 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3836, 33, 37resqrexlemf 10031 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
39 1nn 8117 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
4039a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
4138, 40ffvelrnd 5335 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
4241rpred 8854 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4342resqcld 9728 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR )
4433le0neg2d 7686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  -u A  <_  0 ) )
4537, 44mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u A  <_  0
)
4634, 35, 43, 45leadd2dd 7727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  +  -u A )  <_  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  +  0 ) )
4743recnd 7209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  CC )
4833recnd 7209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4947, 48negsubd 7492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  +  -u A )  =  ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  -  A ) )
5047addid1d 7324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  +  0 )  =  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
5146, 49, 503brtr3d 3822 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
52 1m1e0 8175 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5352oveq2i 5554 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( 4 ^ 0 )
54 4cn 8184 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
55 exp0 9577 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  CC  ->  (
4 ^ 0 )  =  1 )
5654, 55ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ 0 )  =  1
5753, 56eqtri 2102 . . . . . 6  |-  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) )  =  1
5857oveq2i 5554 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  1
)
5947div1d 7935 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  1
)  =  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
6058, 59syl5eq 2126 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
6151, 60breqtrrd 3819 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) ) )
6238adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> RR+ )
63 peano2nn 8118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6463adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
6562, 64ffvelrnd 5335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
6665rpred 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6766resqcld 9728 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
6833adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
6967, 68resubcld 7552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
7069adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  e.  RR )
7138ffvelrnda 5334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR+ )
7271rpred 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
7372resqcld 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
7473, 68resubcld 7552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
75 4re 8183 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  RR
7675a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
77 4pos 8203 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  4
7877a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  4 )
7976, 78elrpd 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR+ )
8074, 79rerpdivcld 8886 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  e.  RR )
8180adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4
)  e.  RR )
8243adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
83 nnz 8451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
84 peano2zm 8470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
8583, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
8685adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
8779, 86rpexpcld 9726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  RR+ )
8882, 87rerpdivcld 8886 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )  e.  RR )
8988, 79rerpdivcld 8886 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  4 )  e.  RR )
9089adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
)  e.  RR )
9136, 33, 37resqrexlemcalc2 10039 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
9291adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4 ) )
9374, 88, 79lediv1d 8901 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  <->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  <_ 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
) ) )
9493biimpa 290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4
)  <_  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  4 ) )
9570, 81, 90, 92, 94letrd 7300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  4 ) )
9647ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  CC )
9787adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
k  -  1 ) )  e.  RR+ )
9897rpcnd 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
9954a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
4  e.  CC )
10097rpap0d 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) #  0 )
10179adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
4  e.  RR+ )
102101rpap0d 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
4 #  0 )
10396, 98, 99, 100, 102divdivap1d 7975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
)  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  4 ) ) )
104 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
105104nncnd 8120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
106 pncan1 7548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
108107oveq2d 5559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 4 ^ k
) )
109108adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 4 ^ k ) )
110 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
111 expm1t 9601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4 ^ k
)  =  ( ( 4 ^ ( k  -  1 ) )  x.  4 ) )
11254, 110, 111sylancr 405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ k
)  =  ( ( 4 ^ ( k  -  1 ) )  x.  4 ) )
113109, 112eqtrd 2114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( k  -  1 ) )  x.  4 ) )
114113oveq2d 5559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  4 ) ) )
115103, 114eqtr4d 2117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
)  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
11695, 115breqtrd 3817 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
117116ex 113 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
118117expcom 114 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
119118a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
1208, 16, 24, 32, 61, 119nnind 8122 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  <_  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
121120impcom 123 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   {csn 3406   class class class wbr 3793    X. cxp 4369   -->wf 4928   ` cfv 4932  (class class class)co 5543    |-> cmpt2 5545   CCcc 7041   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    x. cmul 7048    < clt 7215    <_ cle 7216    - cmin 7346   -ucneg 7347    / cdiv 7827   NNcn 8106   2c2 8156   4c4 8158   ZZcz 8432   RR+crp 8815    seqcseq 9521   ^cexp 9572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573
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