ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemdec Unicode version

Theorem resqrexlemdec 10116
Description: Lemma for resqrex 10131. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemdec  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  < 
( F `  N
) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdec
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
2 resqrexlemex.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemfp1 10114 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) )  /  2
) )
52adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
61, 2, 3resqrexlemf 10112 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
76ffvelrnda 5355 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
85, 7rerpdivcld 8956 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  RR )
97rpred 8924 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
101, 2, 3resqrexlemover 10115 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
117rpcnd 8926 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
1211sqvald 9769 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  =  ( ( F `  N )  x.  ( F `  N )
) )
1310, 12breqtrd 3829 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N )  x.  ( F `  N )
) )
145, 9, 7ltdivmuld 8976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) )  <  ( F `  N )  <->  A  <  ( ( F `  N
)  x.  ( F `
 N ) ) ) )
1513, 14mpbird 165 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  < 
( F `  N
) )
168, 9, 9, 15ltadd2dd 7663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  < 
( ( F `  N )  +  ( F `  N ) ) )
17112timesd 8410 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( F `  N ) )  =  ( ( F `  N )  +  ( F `  N ) ) )
1816, 17breqtrrd 3831 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  < 
( 2  x.  ( F `  N )
) )
199, 8readdcld 7280 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  RR )
20 2rp 8890 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
2120a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
2219, 9, 21ltdivmuld 8976 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) )  /  2 )  <  ( F `  N )  <->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  < 
( 2  x.  ( F `  N )
) ) )
2318, 22mpbird 165 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) )  /  2 )  < 
( F `  N
) )
244, 23eqbrtrd 3825 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  < 
( F `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   {csn 3416   class class class wbr 3805    X. cxp 4389   ` cfv 4952  (class class class)co 5564    |-> cmpt2 5566   RRcr 7112   0cc0 7113   1c1 7114    + caddc 7116    x. cmul 7118    < clt 7285    <_ cle 7286    / cdiv 7897   NNcn 8176   2c2 8226   RR+crp 8885    seqcseq 9591   ^cexp 9642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-rp 8886  df-iseq 9592  df-iexp 9643
This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  10117
  Copyright terms: Public domain W3C validator