Theorem resqrexlemdecn 10777

Description: Lemma for resqrex 10791. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemdecn.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemdecn.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemdecn.nm	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	|- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   M( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnzd 9165	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	2	peano2zd 9169	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
5	4	nnzd 9165	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 |- ( ph -> N < M )
7		nnltp1le 9107	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
8	1, 4, 7	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ph -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
9	6, 8	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) <_ M )
10		fveq2 5414	. . . . . 6 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
11	10	breq1d 3934	. . . . 5 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
12	11	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
13		fveq2 5414	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
14	13	breq1d 3934	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) ) )
16		fveq2 5414	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
17	16	breq1d 3934	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
18	17	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
19		fveq2 5414	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( F ` w ) = ( F ` M ) )
20	19	breq1d 3934	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
21	20	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) ) )
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 10776	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
26	1, 25	mpdan 417	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
27	26	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
28	22, 23, 24	resqrexlemf 10772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
29	28	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> F : NN --> RR+ )
30		simplr2 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. ZZ )
31		1red 7774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 e. RR )
32	3	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
33	32	zred 9166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
34	30	zred 9166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. RR )
35	1	nnred 8726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
36	1	nngt0d 8757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < N )
37		0re 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
38		ltle 7844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
39	37, 38	mpan 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
40	35, 36, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ N )
41		1red 7774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
42	41, 35	addge02d 8289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ N <-> 1 <_ ( N + 1 ) ) )
43	40, 42	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N + 1 ) )
44	43	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ ( N + 1 ) )
45		simplr3 1025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) <_ k )
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ k )
47		elnnz1 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
48	30, 46, 47	sylanbrc 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. NN )
49	48	peano2nnd 8728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
50	29, 49	ffvelrnd 5549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR+ )
51	50	rpred 9476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
52	29, 48	ffvelrnd 5549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
53	52	rpred 9476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
54	1	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> N e. NN )
55	29, 54	ffvelrnd 5549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
56	55	rpred 9476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR )
57		simpll 518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ph )
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 10776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
59	57, 48, 58	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
60		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` N ) )
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 7881	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) )
62	61	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
63	62	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
64	63	a2d 26	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 9155	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ M ) -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
67	66	pm2.43i 49	1 |- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3522   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   e. cmpo 5769   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793   <_ cle 7794   / cdiv 8425   NNcn 8713   2c2 8764   ZZcz 9047   RR+crp 9434   seqcseq 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10783  resqrexlemcvg  10784  resqrexlemoverl  10786  resqrexlemglsq  10787