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Theorem resqrexlemex 9852
Description: Lemma for resqrex 9853. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    y, F, z    ph, z, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( x)

Proof of Theorem resqrexlemex
Dummy variables  r  n  e  a  b  c  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
2 resqrexlemex.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemcvg 9846 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) )
5 simprl 491 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) ) )  -> 
r  e.  RR )
62adantr 265 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
73adantr 265 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) ) )  -> 
0  <_  A )
8 simprr 492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) ) )  ->  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) )
9 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  c  ->  ( F `  k )  =  ( F `  c ) )
109breq1d 3802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  c  ->  (
( F `  k
)  <  ( r  +  e )  <->  ( F `  c )  <  (
r  +  e ) ) )
119oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  c  ->  (
( F `  k
)  +  e )  =  ( ( F `
 c )  +  e ) )
1211breq2d 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  c  ->  (
r  <  ( ( F `  k )  +  e )  <->  r  <  ( ( F `  c
)  +  e ) ) )
1310, 12anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  c  ->  (
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) )  <->  ( ( F `
 c )  < 
( r  +  e )  /\  r  < 
( ( F `  c )  +  e ) ) ) )
1413cbvralv 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  <  ( r  +  e )  /\  r  <  ( ( F `  k )  +  e ) )  <->  A. c  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  c )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  c
)  +  e ) ) )
1514rexbii 2348 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  <  ( r  +  e )  /\  r  <  ( ( F `  k )  +  e ) )  <->  E. n  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  c )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  c
)  +  e ) ) )
16 fveq2 5206 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  b  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  b )
)
1716raleqdv 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  b  ->  ( A. c  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  c
)  <  ( r  +  e )  /\  r  <  ( ( F `
 c )  +  e ) )  <->  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  c
)  +  e ) ) ) )
1817cbvrexv 2551 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  c )  <  ( r  +  e )  /\  r  <  ( ( F `  c )  +  e ) )  <->  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  c
)  +  e ) ) )
1915, 18bitri 177 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  <  ( r  +  e )  /\  r  <  ( ( F `  k )  +  e ) )  <->  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  c
)  +  e ) ) )
2019ralbii 2347 . . . . . 6  |-  ( A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) )  <->  A. e  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  c )  <  ( r  +  e )  /\  r  <  ( ( F `  c )  +  e ) ) )
21 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  a  ->  (
r  +  e )  =  ( r  +  a ) )
2221breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  a  ->  (
( F `  c
)  <  ( r  +  e )  <->  ( F `  c )  <  (
r  +  a ) ) )
23 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  a  ->  (
( F `  c
)  +  e )  =  ( ( F `
 c )  +  a ) )
2423breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  a  ->  (
r  <  ( ( F `  c )  +  e )  <->  r  <  ( ( F `  c
)  +  a ) ) )
2522, 24anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  a  ->  (
( ( F `  c )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  c
)  +  e ) )  <->  ( ( F `
 c )  < 
( r  +  a )  /\  r  < 
( ( F `  c )  +  a ) ) ) )
2625rexralbidv 2367 . . . . . . 7  |-  ( e  =  a  ->  ( E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  c )  <  ( r  +  e )  /\  r  <  ( ( F `  c )  +  e ) )  <->  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  (
r  +  a )  /\  r  <  (
( F `  c
)  +  a ) ) ) )
2726cbvralv 2550 . . . . . 6  |-  ( A. e  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  c
)  +  e ) )  <->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  c )  <  ( r  +  a )  /\  r  <  ( ( F `  c )  +  a ) ) )
2820, 27bitri 177 . . . . 5  |-  ( A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) )  <->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  c )  <  ( r  +  a )  /\  r  <  ( ( F `  c )  +  a ) ) )
298, 28sylib 131 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) ) )  ->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  (
r  +  a )  /\  r  <  (
( F `  c
)  +  a ) ) )
301, 6, 7, 5, 29resqrexlemgt0 9847 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) ) )  -> 
0  <_  r )
311, 6, 7, 5, 8resqrexlemsqa 9851 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) ) )  -> 
( r ^ 2 )  =  A )
32 breq2 3796 . . . . 5  |-  ( x  =  r  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  r ) )
33 oveq1 5547 . . . . . 6  |-  ( x  =  r  ->  (
x ^ 2 )  =  ( r ^
2 ) )
3433eqeq1d 2064 . . . . 5  |-  ( x  =  r  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( r ^ 2 )  =  A ) )
3532, 34anbi12d 450 . . . 4  |-  ( x  =  r  ->  (
( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( 0  <_  r  /\  ( r ^ 2 )  =  A ) ) )
3635rspcev 2673 . . 3  |-  ( ( r  e.  RR  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r ^ 2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
375, 30, 31, 36syl12anc 1144 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  k )  <  (
r  +  e )  /\  r  <  (
( F `  k
)  +  e ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
384, 37rexlimddv 2454 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   {csn 3403   class class class wbr 3792    X. cxp 4371   ` cfv 4930  (class class class)co 5540    |-> cmpt2 5542   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119    <_ cle 7120    / cdiv 7725   NNcn 7990   2c2 8040   ZZ>=cuz 8569   RR+crp 8681    seqcseq 9375   ^cexp 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061  ax-caucvg 7062
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682  df-iseq 9376  df-iexp 9420
This theorem is referenced by:  resqrex  9853
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