Theorem resqrexlemf 10094

Description: Lemma for resqrex 10113. The sequence is a function. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemf	|- ( ph -> F : NN --> RR+ )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemf

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 8787	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 8511	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		resqrexlemex.seq	. . . 4 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
4		resqrexlemex.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
5		resqrexlemex.agt0	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ A )
6	3, 4, 5	resqrexlem1arp 10092	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` a ) e. RR+ )
7	3, 4, 5	resqrexlemp1rp 10093	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( a ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) b ) e. RR+ )
8	1, 2, 6, 7	iseqfcl 9587	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ ) : NN --> RR+ )
9	3	feq1i 5090	. 2 |- ( F : NN --> RR+ <-> seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ ) : NN --> RR+ )
10	8, 9	sylibr 132	1 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1285   e. wcel 1434   {csn 3416   class class class wbr 3805   X. cxp 4389   -->wf 4948  (class class class)co 5563   |-> cmpt2 5565   RRcr 7094   0cc0 7095   1c1 7096   + caddc 7098   <_ cle 7268   / cdiv 7879   NNcn 8158   2c2 8208   RR+crp 8867   seqcseq 9573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574

This theorem is referenced by:  resqrexlemfp1  10096  resqrexlemover  10097  resqrexlemdec  10098  resqrexlemdecn  10099  resqrexlemlo  10100  resqrexlemcalc1  10101  resqrexlemcalc2  10102  resqrexlemcalc3  10103  resqrexlemnmsq  10104  resqrexlemnm  10105  resqrexlemcvg  10106  resqrexlemgt0  10107  resqrexlemoverl  10108  resqrexlemglsq  10109  resqrexlemga  10110  resqrexlemsqa  10111