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Theorem resqrexlemga 10763
Description: Lemma for resqrex 10766. The sequence formed by squaring each term of  F converges to  A. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
resqrexlemsqa.g  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemga  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
j, F, k    x, F, k    e, j, k,
ph    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, i)    A( x, e, i, j, k)    F( y, z, e, i)    G( x, y, z, e, i, j, k)    L( x, y, z, e, i, j, k)

Proof of Theorem resqrexlemga
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 10747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
54adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  F : NN
--> RR+ )
6 1nn 8699 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
76a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  1  e.  NN )
85, 7ffvelrnd 5524 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( F `  1 )  e.  RR+ )
9 2z 9050 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  2  e.  ZZ )
118, 10rpexpcld 10416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
12 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1311, 12rpdivcld 9469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  e.  RR+ )
1413rpred 9451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  e.  RR )
15 1red 7749 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
1614, 15readdcld 7763 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  e.  RR )
17 arch 8942 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  e
)  +  1 )  e.  RR  ->  E. j  e.  NN  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)
1816, 17syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)
19 simpllr 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  NN )
20 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
21 eluznn 9362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
2219, 20, 21syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  NN )
23 simplll 507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
e )  +  1 )  <  j )  ->  ph )
2423adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ph )
2524, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : NN
--> RR+ )
2625, 22ffvelrnd 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
279a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  2  e.  ZZ )
2826, 27rpexpcld 10416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR+ )
29 fveq2 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
3029oveq1d 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
31 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) )
3230, 31fvmptg 5465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR+ )  ->  ( G `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )
3322, 28, 32syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
3428rpred 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
3524, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  e.  RR )
3634, 35resubcld 8111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
3711ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3837rpred 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
39 4re 8765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  RR
40 4pos 8785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  4
4139, 40elrpii 9412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR+
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  4  e.  RR+ )
43 nnm1nn0 8986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
4422, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  e. 
NN0 )
4544nn0zd 9139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
4642, 45rpexpcld 10416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  RR+ )
4738, 46rerpdivcld 9483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )  e.  RR )
4812ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  e  e.  RR+ )
4948rpred 9451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  e  e.  RR )
501, 2, 3resqrexlemcalc3 10756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) )
5124, 22, 50syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) )
5214ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  e.  RR )
5322nnred 8701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  RR )
54 1red 7749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  1  e.  RR )
5553, 54resubcld 8111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
5639a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  4  e.  RR )
5756, 44reexpcld 10409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  RR )
5816ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  e.  RR )
5919nnred 8701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  RR )
60 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  < 
j )
61 eluzle 9306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  k )
6261adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  <_  k )
6358, 59, 53, 60, 62ltletrd 8153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  < 
k )
6452, 54, 53ltaddsubd 8275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  e
)  +  1 )  <  k  <->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  < 
( k  -  1 ) ) )
6563, 64mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  < 
( k  -  1 ) )
66 4z 9052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  ZZ
67 2re 8758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
68 2lt4 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  4
6967, 39, 68ltleii 7834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <_  4
70 eluz2 9300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
719, 66, 69, 70mpbir3an 1148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
72 bernneq3 10382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
k  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( k  -  1 )  <  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )
7371, 44, 72sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  < 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )
7452, 55, 57, 65, 73lttrd 7856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  < 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )
7538, 48, 46, 74ltdiv23d 9512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )  < 
e )
7636, 47, 49, 51, 75lelttrd 7855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  < 
e )
7734, 35, 49ltsubadd2d 8273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <  e  <->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  < 
( A  +  e ) ) )
7876, 77mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  < 
( A  +  e ) )
7933, 78eqbrtrd 3920 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  <  ( A  +  e )
)
8033, 28eqeltrd 2194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR+ )
8180rpred 9451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
8281, 49readdcld 7763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  k )  +  e )  e.  RR )
831, 2, 3resqrexlemover 10750 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 ) )
8424, 22, 83syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  <  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
8584, 33breqtrrd 3926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  <  ( G `  k ) )
8681, 48ltaddrpd 9485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  <  (
( G `  k
)  +  e ) )
8735, 81, 82, 85, 86lttrd 7856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  <  ( ( G `  k
)  +  e ) )
8879, 87jca 304 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  < 
( ( G `  k )  +  e ) ) )
8988ralrimiva 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
e )  +  1 )  <  j )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( G `  k
)  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `
 k )  +  e ) ) )
9089ex 114 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
e )  +  1 )  <  j  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
)  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `
 k )  +  e ) ) ) )
9190reximdva 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  e
)  +  1 )  <  j  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) ) )
9218, 91mpd 13 . 2  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) )
9392ralrimiva 2482 1  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   {csn 3497   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959    X. cxp 4507   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742    e. cmpo 5744   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901    / cdiv 8400   NNcn 8688   2c2 8739   4c4 8741   NN0cn0 8945   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   RR+crp 9409    seqcseq 10186   ^cexp 10260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10764
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