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Theorem resqrexlemgt0 10107
Description: Lemma for resqrex 10113. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemgt0  |-  ( ph  ->  0  <_  L )
Distinct variable groups:    y, A, z   
e, F    e, L, i, j    ph, i, j   
z, j, ph    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( e)    A( e,
i, j)    F( y,
z, i, j)    L( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemgt0
StepHypRef Expression
1 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
21adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  L  e.  RR )
32renegcld 7603 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  -u L  e.  RR )
41lt0neg1d 7735 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  <  0  <->  0  <  -u L ) )
54biimpa 290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  0  <  -u L )
63, 5elrpd 8904 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  -u L  e.  RR+ )
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
87adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
9 oveq2 5571 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  -u L  ->  ( L  +  e )  =  ( L  +  -u L ) )
109breq2d 3817 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  -u L  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  e )  <->  ( F `  i )  <  ( L  +  -u L ) ) )
11 oveq2 5571 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  -u L  ->  (
( F `  i
)  +  e )  =  ( ( F `
 i )  + 
-u L ) )
1211breq2d 3817 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  -u L  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  e )  <->  L  <  ( ( F `  i
)  +  -u L
) ) )
1310, 12anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  -u L  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <-> 
( ( F `  i )  <  ( L  +  -u L )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  -u L
) ) ) )
1413rexralbidv 2397 . . . . . . 7  |-  ( e  =  -u L  ->  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  -u L )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  -u L
) ) ) )
1514rspcv 2706 . . . . . 6  |-  ( -u L  e.  RR+  ->  ( A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  -u L )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  -u L ) ) ) )
166, 8, 15sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  -u L )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  -u L
) ) )
17 simpl 107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  i
)  <  ( L  +  -u L )  /\  L  <  ( ( F `
 i )  + 
-u L ) )  ->  ( F `  i )  <  ( L  +  -u L ) )
182recnd 7261 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  L  e.  CC )
1918negidd 7528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  ( L  +  -u L )  =  0 )
2019breq2d 3817 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  -u L )  <->  ( F `  i )  <  0
) )
2117, 20syl5ib 152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  -u L )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  -u L
) )  ->  ( F `  i )  <  0 ) )
2221ralimdv 2435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  -u L )  /\  L  <  ( ( F `
 i )  + 
-u L ) )  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  i )  <  0 ) )
2322reximdv 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  -u L )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  -u L ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 i )  <  0 ) )
2416, 23mpd 13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  i
)  <  0 )
25 0red 7234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  e.  RR )
26 eluznn 8820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
i  e.  NN )
27 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
28 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
29 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3027, 28, 29resqrexlemf 10094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
3130ffvelrnda 5354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `
 i )  e.  RR+ )
3226, 31sylan2 280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR+ )
3332rpred 8906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
3432rpgt0d 8909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <  ( F `  i
) )
3525, 33, 34ltnsymd 7348 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  -.  ( F `  i )  <  0 )
3635pm2.21d 582 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  i
)  <  0  -> F.  ) )
3736anassrs 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  i )  <  0  -> F.  )
)
3837ralimdva 2434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 i )  <  0  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) F.  ) )
39 nnz 8503 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
40 uzid 8766 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
41 elex2 2624 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  E. z 
z  e.  ( ZZ>= `  j ) )
42 r19.3rmv 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  z  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( F.  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) F.  ) )
4340, 41, 423syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ZZ  ->  ( F. 
<-> 
A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) F.  ) )
4439, 43syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F. 
<-> 
A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) F.  ) )
4544adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F.  <->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) F.  ) )
4638, 45sylibrd 167 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 i )  <  0  -> F.  )
)
4746rexlimdva 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  i
)  <  0  -> F.  ) )
4847adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  ->  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 i )  <  0  -> F.  )
)
4924, 48mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  <  0 )  -> F.  )
5049inegd 1304 . 2  |-  ( ph  ->  -.  L  <  0
)
51 0re 7233 . . 3  |-  0  e.  RR
52 lenlt 7306 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  <_  L  <->  -.  L  <  0 ) )
5351, 1, 52sylancr 405 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  L  <->  -.  L  <  0 ) )
5450, 53mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  0  <_  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   F. wfal 1290   E.wex 1422    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   {csn 3416   class class class wbr 3805    X. cxp 4389   ` cfv 4952  (class class class)co 5563    |-> cmpt2 5565   RRcr 7094   0cc0 7095   1c1 7096    + caddc 7098    < clt 7267    <_ cle 7268   -ucneg 7399    / cdiv 7879   NNcn 8158   2c2 8208   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   RR+crp 8867    seqcseq 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10109  resqrexlemex  10112
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