Theorem resqrexlemgt0 10107

Description: Lemma for resqrex 10113. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	|- ( ph -> 0 <_ L )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F   e, L, i, j   ph, i, j   z, j, ph   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( e)   A( e, i, j)   F( y, z, i, j)   L( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. RR )
2	1	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. RR )
3	2	renegcld 7603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR )
4	1	lt0neg1d 7735	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L < 0 <-> 0 < -u L ) )
5	4	biimpa 290	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> 0 < -u L )
6	3, 5	elrpd 8904	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR+ )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		oveq2 5571	. . . . . . . . . 10 |- ( e = -u L -> ( L + e ) = ( L + -u L ) )
10	9	breq2d 3817	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + -u L ) ) )
11		oveq2 5571	. . . . . . . . . 10 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + -u L ) )
12	11	breq2d 3817	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
13	10, 12	anbi12d 457	. . . . . . . 8 |- ( e = -u L -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
14	13	rexralbidv 2397	. . . . . . 7 |- ( e = -u L -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
15	14	rspcv 2706	. . . . . 6 |- ( -u L e. RR+ -> ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
16	6, 8, 15	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
17		simpl 107	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < ( L + -u L ) )
18	2	recnd 7261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. CC )
19	18	negidd 7528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( L + -u L ) = 0 )
20	19	breq2d 3817	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) <-> ( F ` i ) < 0 ) )
21	17, 20	syl5ib 152	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < 0 ) )
22	21	ralimdv 2435	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
23	22	reximdv 2467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
24	16, 23	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 )
25		0red 7234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 e. RR )
26		eluznn 8820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> i e. NN )
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ A )
30	27, 28, 29	resqrexlemf 10094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
31	30	ffvelrnda 5354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
32	26, 31	sylan2 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
33	32	rpred 8906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
34	32	rpgt0d 8909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 < ( F ` i ) )
35	25, 33, 34	ltnsymd 7348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> -. ( F ` i ) < 0 )
36	35	pm2.21d 582	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
37	36	anassrs 392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
38	37	ralimdva 2434	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
39		nnz 8503	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
40		uzid 8766	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
41		elex2 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. z z e. ( ZZ>= ` j ) )
42		r19.3rmv 3348	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z z e. ( ZZ>= ` j ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
43	40, 41, 42	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
44	39, 43	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
45	44	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
46	38, 45	sylibrd 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
47	46	rexlimdva 2482	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
48	47	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
49	24, 48	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> F. )
50	49	inegd 1304	. 2 |- ( ph -> -. L < 0 )
51		0re 7233	. . 3 |- 0 e. RR
52		lenlt 7306	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ L e. RR ) -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
53	51, 1, 52	sylancr 405	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
54	50, 53	mpbird 165	1 |- ( ph -> 0 <_ L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   F. wfal 1290   E.wex 1422   e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   {csn 3416   class class class wbr 3805   X. cxp 4389   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   |-> cmpt2 5565   RRcr 7094   0cc0 7095   1c1 7096   + caddc 7098   < clt 7267   <_ cle 7268   -ucneg 7399   / cdiv 7879   NNcn 8158   2c2 8208   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   RR+crp 8867   seqcseq 9573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10109  resqrexlemex  10112