Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemlo Unicode version

Theorem resqrexlemlo 10037
 Description: Lemma for resqrex 10050. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0
Assertion
Ref Expression
resqrexlemlo
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem resqrexlemlo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5551 . . . . . 6
21oveq2d 5559 . . . . 5
3 fveq2 5209 . . . . 5
42, 3breq12d 3806 . . . 4
54imbi2d 228 . . 3
6 oveq2 5551 . . . . . 6
76oveq2d 5559 . . . . 5
8 fveq2 5209 . . . . 5
97, 8breq12d 3806 . . . 4
109imbi2d 228 . . 3
11 oveq2 5551 . . . . . 6
1211oveq2d 5559 . . . . 5
13 fveq2 5209 . . . . 5
1412, 13breq12d 3806 . . . 4
1514imbi2d 228 . . 3
16 oveq2 5551 . . . . . 6
1716oveq2d 5559 . . . . 5
18 fveq2 5209 . . . . 5
1917, 18breq12d 3806 . . . 4
2019imbi2d 228 . . 3
21 2cnd 8179 . . . . . . . 8
2221exp1d 9697 . . . . . . 7
23 2rp 8820 . . . . . . 7
2422, 23syl6eqel 2170 . . . . . 6
2524rprecred 8866 . . . . 5
26 1red 7196 . . . . 5
27 resqrexlemex.a . . . . . 6
2826, 27readdcld 7210 . . . . 5
2922oveq2d 5559 . . . . . 6
30 halflt1 8315 . . . . . 6
3129, 30syl6eqbr 3830 . . . . 5
32 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6
3326, 27addge01d 7700 . . . . . 6
3432, 33mpbid 145 . . . . 5
3525, 26, 28, 31, 34ltletrd 7594 . . . 4
36 resqrexlemex.seq . . . . 5
3736, 27, 32resqrexlemf1 10032 . . . 4
3835, 37breqtrrd 3819 . . 3
3923a1i 9 . . . . . . . . . . 11
40 nnz 8451 . . . . . . . . . . . 12
4140ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11
4239, 41rpexpcld 9726 . . . . . . . . . 10
4342rpcnd 8856 . . . . . . . . 9
44 2cnd 8179 . . . . . . . . 9
4542rpap0d 8860 . . . . . . . . 9 #
4639rpap0d 8860 . . . . . . . . 9 #
4743, 44, 45, 46recdivap2d 7962 . . . . . . . 8
48 nnnn0 8362 . . . . . . . . . . 11
4948ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10
5044, 49expp1d 9703 . . . . . . . . 9
5150oveq2d 5559 . . . . . . . 8
5247, 51eqtr4d 2117 . . . . . . 7
5342rprecred 8866 . . . . . . . . 9
5436, 27, 32resqrexlemf 10031 . . . . . . . . . . . . 13
5554ffvelrnda 5334 . . . . . . . . . . . 12
5655rpred 8854 . . . . . . . . . . 11
5756adantr 270 . . . . . . . . . 10
5827adantr 270 . . . . . . . . . . . 12
5958, 55rerpdivcld 8886 . . . . . . . . . . 11
6059adantr 270 . . . . . . . . . 10
6157, 60readdcld 7210 . . . . . . . . 9
62 simpr 108 . . . . . . . . . 10
6332adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13
6458, 55, 63divge0d 8895 . . . . . . . . . . . 12
6556, 59addge01d 7700 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65mpbid 145 . . . . . . . . . . 11
6766adantr 270 . . . . . . . . . 10
6853, 57, 61, 62, 67ltletrd 7594 . . . . . . . . 9
6953, 61, 39, 68ltdiv1dd 8912 . . . . . . . 8
7036, 27, 32resqrexlemfp1 10033 . . . . . . . . 9
7170adantr 270 . . . . . . . 8
7269, 71breqtrrd 3819 . . . . . . 7
7352, 72eqbrtrrd 3815 . . . . . 6
7473ex 113 . . . . 5
7574expcom 114 . . . 4
7675a2d 26 . . 3
775, 10, 15, 20, 38, 76nnind 8122 . 2
7877impcom 123 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wceq 1285   wcel 1434  csn 3406   class class class wbr 3793   cxp 4369  cfv 4932  (class class class)co 5543   cmpt2 5545  cr 7042  cc0 7043  c1 7044   caddc 7046   cmul 7048   clt 7215   cle 7216   cdiv 7827  cn 8106  c2 8156  cn0 8355  cz 8432  crp 8815   cseq 9521  cexp 9572 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573 This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10042
 Copyright terms: Public domain W3C validator