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Theorem resqrexlemlo 10037
Description: Lemma for resqrex 10050. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemlo  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  < 
( F `  N
) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemlo
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5551 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
2 ^ w )  =  ( 2 ^ 1 ) )
21oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
1  /  ( 2 ^ w ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ 1 ) ) )
3 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  ( F `  w )  =  ( F ` 
1 ) )
42, 3breq12d 3806 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( 1  /  (
2 ^ w ) )  <  ( F `
 w )  <->  ( 1  /  ( 2 ^ 1 ) )  < 
( F `  1
) ) )
54imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ w ) )  < 
( F `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  <  ( F `
 1 ) ) ) )
6 oveq2 5551 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
2 ^ w )  =  ( 2 ^ k ) )
76oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
1  /  ( 2 ^ w ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
8 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
97, 8breq12d 3806 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( 1  /  (
2 ^ w ) )  <  ( F `
 w )  <->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  < 
( F `  k
) ) )
109imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ w ) )  < 
( F `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ k ) )  <  ( F `
 k ) ) ) )
11 oveq2 5551 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
2 ^ w )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
1211oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  ( 2 ^ w ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 3806 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ w ) )  <  ( F `
 w )  <->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  < 
( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ w ) )  < 
( F `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  <  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 5551 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
2 ^ w )  =  ( 2 ^ N ) )
1716oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
1  /  ( 2 ^ w ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )
18 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( F `  w )  =  ( F `  N ) )
1917, 18breq12d 3806 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( 1  /  (
2 ^ w ) )  <  ( F `
 w )  <->  ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  < 
( F `  N
) ) )
2019imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ w ) )  < 
( F `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  <  ( F `
 N ) ) ) )
21 2cnd 8179 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2221exp1d 9697 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 1 )  =  2 )
23 2rp 8820 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
2422, 23syl6eqel 2170 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 1 )  e.  RR+ )
2524rprecred 8866 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  e.  RR )
26 1red 7196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
27 resqrexlemex.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2826, 27readdcld 7210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  +  A
)  e.  RR )
2922oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
30 halflt1 8315 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3129, 30syl6eqbr 3830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  <  1 )
32 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3326, 27addge01d 7700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  1  <_  ( 1  +  A ) ) )
3432, 33mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 1  +  A ) )
3525, 26, 28, 31, 34ltletrd 7594 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  <  ( 1  +  A ) )
36 resqrexlemex.seq . . . . 5  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
3736, 27, 32resqrexlemf1 10032 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( 1  +  A ) )
3835, 37breqtrrd 3819 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  <  ( F `
 1 ) )
3923a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
2  e.  RR+ )
40 nnz 8451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
4140ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
k  e.  ZZ )
4239, 41rpexpcld 9726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  RR+ )
4342rpcnd 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  CC )
44 2cnd 8179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
2  e.  CC )
4542rpap0d 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 2 ^ k
) #  0 )
4639rpap0d 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
2 #  0 )
4743, 44, 45, 46recdivap2d 7962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  /  2
)  =  ( 1  /  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) ) )
48 nnnn0 8362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
4948ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
k  e.  NN0 )
5044, 49expp1d 9703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) )
5150oveq2d 5559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) ) )
5247, 51eqtr4d 2117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  /  2
)  =  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
5342rprecred 8866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ k ) )  e.  RR )
5436, 27, 32resqrexlemf 10031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5554ffvelrnda 5334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR+ )
5655rpred 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
5756adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
5827adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
5958, 55rerpdivcld 8886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  RR )
6059adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( A  /  ( F `  k )
)  e.  RR )
6157, 60readdcld 7210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
62 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ k ) )  <  ( F `
 k ) )
6332adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
6458, 55, 63divge0d 8895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( A  /  ( F `  k )
) )
6556, 59addge01d 7700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <_  ( A  / 
( F `  k
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )
6664, 65mpbid 145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) )
6766adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( F `  k
)  <_  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) )
6853, 57, 61, 62, 67ltletrd 7594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ k ) )  <  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) )
6953, 61, 39, 68ltdiv1dd 8912 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  /  2
)  <  ( (
( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) )  /  2 ) )
7036, 27, 32resqrexlemfp1 10033 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `
 k )  +  ( A  /  ( F `  k )
) )  /  2
) )
7170adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) )  /  2 ) )
7269, 71breqtrrd 3819 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  /  2
)  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
7352, 72eqbrtrrd 3815 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  <  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )
7473ex 113 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k )  ->  (
1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
7574expcom 114 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  < 
( F `  k
)  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  < 
( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7675a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  < 
( F `  k
) )  ->  ( ph  ->  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
775, 10, 15, 20, 38, 76nnind 8122 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  <  ( F `  N )
) )
7877impcom 123 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  < 
( F `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   {csn 3406   class class class wbr 3793    X. cxp 4369   ` cfv 4932  (class class class)co 5543    |-> cmpt2 5545   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    x. cmul 7048    < clt 7215    <_ cle 7216    / cdiv 7827   NNcn 8106   2c2 8156   NN0cn0 8355   ZZcz 8432   RR+crp 8815    seqcseq 9521   ^cexp 9572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573
This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10042
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