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Theorem resqrexlemoverl 9848
Description: Lemma for resqrex 9853. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 
L. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
resqrexlemoverl.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl  |-  ( ph  ->  L  <_  ( F `  K ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
e, F, i, j   
y, F, z, i, j    e, K, i, j    y, K, z   
e, L, i, j   
y, L, z    ph, y,
z
Allowed substitution hints:    ph( e, i, j)    A( e, i, j)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
2 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 9834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
64, 5ffvelrnd 5331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  RR+ )
76rpred 8720 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  RR )
8 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
9 difrp 8717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  K
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( F `  K )  <  L  <->  ( L  -  ( F `
 K ) )  e.  RR+ ) )
107, 8, 9syl2anc 397 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  K )  <  L  <->  ( L  -  ( F `
 K ) )  e.  RR+ ) )
1110biimpa 284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  ( L  -  ( F `  K ) )  e.  RR+ )
12 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
1312adantr 265 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
14 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( L  +  e )  =  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )
1514breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  <->  ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
16 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( ( F `  i )  +  e )  =  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )
1716breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( L  <  ( ( F `  i )  +  e )  <->  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
1815, 17anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( (
( F `  i
)  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `
 i )  +  e ) )  <->  ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
1918rexralbidv 2367 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
2019rspcv 2669 . . . . . 6  |-  ( ( L  -  ( F `
 K ) )  e.  RR+  ->  ( A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
2111, 13, 20sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
22 fveq2 5206 . . . . . . 7  |-  ( j  =  b  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  b )
)
2322raleqdv 2528 . . . . . 6  |-  ( j  =  b  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) ) )
2423cbvrexv 2551 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  <->  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2521, 24sylib 131 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
26 simprl 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  NN )
2726nnzd 8418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
2827adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  b  e.  ZZ )
295ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  NN )
3029nnzd 8418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
3130adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  K  e.  ZZ )
32 simpr 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  b  <_  K )
33 eluz2 8575 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  b
)  <->  ( b  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  b  <_  K ) )
3428, 31, 32, 33syl3anbrc 1099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  b )
)
35 simprr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
3635adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
37 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  K  ->  ( F `  i )  =  ( F `  K ) )
3837breq1d 3802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  K  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  <->  ( F `  K )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
3937oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  K  ->  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  ( ( F `
 K )  +  ( L  -  ( F `  K )
) ) )
4039breq2d 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  K  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  <->  L  <  ( ( F `  K
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
4138, 40anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  K  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )  <->  ( ( F `
 K )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
4241rspcv 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  b
)  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  ->  (
( F `  K
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
4334, 36, 42sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( ( F `  K )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
4443simprd 111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  <  ( ( F `  K
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
456ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  RR+ )
4645rpcnd 8722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  CC )
4746adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( F `  K )  e.  CC )
488ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
4948recnd 7113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  CC )
5049adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  e.  CC )
5147, 50pncan3d 7388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  L )
5244, 51breqtrd 3816 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  <  L )
538ad3antrrr 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  e.  RR )
5453ltnrd 7188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  -.  L  <  L )
5552, 54pm2.21fal 1280 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  -> F.  )
562ad3antrrr 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  A  e.  RR )
573ad3antrrr 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  0  <_  A )
585ad3antrrr 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  K  e.  NN )
5926adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  b  e.  NN )
60 simpr 107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  K  <  b )
611, 56, 57, 58, 59, 60resqrexlemdecn 9839 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  b )  <  ( F `  K )
)
627ad3antrrr 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  K )  e.  RR )
634ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR+ )
6463, 26ffvelrnd 5331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR+ )
6564rpred 8720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR )
6665adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  b )  e.  RR )
67 uzid 8583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  ( ZZ>= `  b )
)
6827, 67syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  (
ZZ>= `  b ) )
69 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  b  ->  ( F `  i )  =  ( F `  b ) )
7069breq1d 3802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  b  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  <->  ( F `  b )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
7169oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  b  ->  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( L  -  ( F `  K )
) ) )
7271breq2d 3804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  b  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  <->  L  <  ( ( F `  b
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
7370, 72anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  b  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )  <->  ( ( F `
 b )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
7473rspcv 2669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( ZZ>= `  b
)  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  ->  (
( F `  b
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
7568, 35, 74sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 b )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
7675simprd 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  <  (
( F `  b
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
7764rpcnd 8722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  CC )
7877, 49, 46addsubassd 7405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  +  L )  -  ( F `  K ) )  =  ( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
7976, 78breqtrrd 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  <  (
( ( F `  b )  +  L
)  -  ( F `
 K ) ) )
807ad2antrr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  RR )
8165, 48readdcld 7114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 b )  +  L )  e.  RR )
8280, 48, 81ltaddsub2d 7611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  K )  +  L )  < 
( ( F `  b )  +  L
)  <->  L  <  ( ( ( F `  b
)  +  L )  -  ( F `  K ) ) ) )
8379, 82mpbird 160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 K )  +  L )  <  (
( F `  b
)  +  L ) )
8480, 65, 48ltadd1d 7603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 K )  < 
( F `  b
)  <->  ( ( F `
 K )  +  L )  <  (
( F `  b
)  +  L ) ) )
8583, 84mpbird 160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  <  ( F `  b )
)
8685adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  K )  <  ( F `  b )
)
8762, 66, 86ltnsymd 7195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  -.  ( F `  b )  <  ( F `  K
) )
8861, 87pm2.21fal 1280 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  -> F.  )
89 zlelttric 8347 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( b  <_  K  \/  K  <  b ) )
9027, 30, 89syl2anc 397 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( b  <_  K  \/  K  <  b ) )
9155, 88, 90mpjaodan 722 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  -> F.  )
9225, 91rexlimddv 2454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  -> F.  )
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)
948, 7lenltd 7193 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  <_  ( F `  K )  <->  -.  ( F `  K
)  <  L )
)
9593, 94mpbird 160 1  |-  ( ph  ->  L  <_  ( F `  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    = wceq 1259   F. wfal 1264    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   {csn 3403   class class class wbr 3792    X. cxp 4371   -->wf 4926   ` cfv 4930  (class class class)co 5540    |-> cmpt2 5542   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119    <_ cle 7120    - cmin 7245    / cdiv 7725   NNcn 7990   2c2 8040   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569   RR+crp 8681    seqcseq 9375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682  df-iseq 9376  df-iexp 9420
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