Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemoverl Unicode version

Theorem resqrexlemoverl 9848
 Description: Lemma for resqrex 9853. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit . Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0
resqrexlemgt0.rr
resqrexlemgt0.lim
resqrexlemoverl.k
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11
2 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11
41, 2, 3resqrexlemf 9834 . . . . . . . . . 10
5 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10
64, 5ffvelrnd 5331 . . . . . . . . 9
76rpred 8720 . . . . . . . 8
8 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8
9 difrp 8717 . . . . . . . 8
107, 8, 9syl2anc 397 . . . . . . 7
1110biimpa 284 . . . . . 6
12 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7
1312adantr 265 . . . . . 6
14 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10
1514breq2d 3804 . . . . . . . . 9
16 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10
1716breq2d 3804 . . . . . . . . 9
1815, 17anbi12d 450 . . . . . . . 8
1918rexralbidv 2367 . . . . . . 7
2019rspcv 2669 . . . . . 6
2111, 13, 20sylc 60 . . . . 5
22 fveq2 5206 . . . . . . 7
2322raleqdv 2528 . . . . . 6
2423cbvrexv 2551 . . . . 5
2521, 24sylib 131 . . . 4
26 simprl 491 . . . . . . . . . . . 12
2726nnzd 8418 . . . . . . . . . . 11
2827adantr 265 . . . . . . . . . 10
295ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . 12
3029nnzd 8418 . . . . . . . . . . 11
3130adantr 265 . . . . . . . . . 10
32 simpr 107 . . . . . . . . . 10
33 eluz2 8575 . . . . . . . . . 10
3428, 31, 32, 33syl3anbrc 1099 . . . . . . . . 9
35 simprr 492 . . . . . . . . . 10
3635adantr 265 . . . . . . . . 9
37 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . 12
3837breq1d 3802 . . . . . . . . . . 11
3937oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12
4039breq2d 3804 . . . . . . . . . . 11
4138, 40anbi12d 450 . . . . . . . . . 10
4241rspcv 2669 . . . . . . . . 9
4334, 36, 42sylc 60 . . . . . . . 8
4443simprd 111 . . . . . . 7
456ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10
4645rpcnd 8722 . . . . . . . . 9
4746adantr 265 . . . . . . . 8
488ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10
4948recnd 7113 . . . . . . . . 9
5049adantr 265 . . . . . . . 8
5147, 50pncan3d 7388 . . . . . . 7
5244, 51breqtrd 3816 . . . . . 6
538ad3antrrr 469 . . . . . . 7
5453ltnrd 7188 . . . . . 6
5552, 54pm2.21fal 1280 . . . . 5
562ad3antrrr 469 . . . . . . 7
573ad3antrrr 469 . . . . . . 7
585ad3antrrr 469 . . . . . . 7
5926adantr 265 . . . . . . 7
60 simpr 107 . . . . . . 7
611, 56, 57, 58, 59, 60resqrexlemdecn 9839 . . . . . 6
627ad3antrrr 469 . . . . . . 7
634ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10
6463, 26ffvelrnd 5331 . . . . . . . . 9
6564rpred 8720 . . . . . . . 8
6665adantr 265 . . . . . . 7
67 uzid 8583 . . . . . . . . . . . . . 14
6827, 67syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
69 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069breq1d 3802 . . . . . . . . . . . . . . 15
7169oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271breq2d 3804 . . . . . . . . . . . . . . 15
7370, 72anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . 14
7473rspcv 2669 . . . . . . . . . . . . 13
7568, 35, 74sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
7675simprd 111 . . . . . . . . . . 11
7764rpcnd 8722 . . . . . . . . . . . 12
7877, 49, 46addsubassd 7405 . . . . . . . . . . 11
7976, 78breqtrrd 3818 . . . . . . . . . 10
807ad2antrr 465 . . . . . . . . . . 11
8165, 48readdcld 7114 . . . . . . . . . . 11
8280, 48, 81ltaddsub2d 7611 . . . . . . . . . 10
8379, 82mpbird 160 . . . . . . . . 9
8480, 65, 48ltadd1d 7603 . . . . . . . . 9
8583, 84mpbird 160 . . . . . . . 8
8685adantr 265 . . . . . . 7
8762, 66, 86ltnsymd 7195 . . . . . 6
8861, 87pm2.21fal 1280 . . . . 5
89 zlelttric 8347 . . . . . 6
9027, 30, 89syl2anc 397 . . . . 5
9155, 88, 90mpjaodan 722 . . . 4
9225, 91rexlimddv 2454 . . 3
9392inegd 1279 . 2
948, 7lenltd 7193 . 2
9593, 94mpbird 160 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 101   wb 102   wo 639   wceq 1259   wfal 1264   wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  csn 3403   class class class wbr 3792   cxp 4371  wf 4926  cfv 4930  (class class class)co 5540   cmpt2 5542  cc 6945  cr 6946  cc0 6947  c1 6948   caddc 6950   clt 7119   cle 7120   cmin 7245   cdiv 7725  cn 7990  c2 8040  cz 8302  cuz 8569  crp 8681   cseq 9375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682  df-iseq 9376  df-iexp 9420 This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  9849
 Copyright terms: Public domain W3C validator