Theorem resubcl 7439

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7168	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 7168	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 7423	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 283	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 7436	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 7161	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 280	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2157	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   + caddc 7046   - cmin 7346   -ucneg 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-sub 7348  df-neg 7349

This theorem is referenced by:  peano2rem  7442  resubcld  7552  posdif  7626  lt2sub  7631  le2sub  7632  cju  8105  elz2  8500  difrp  8851  iooshf  9051  iccshftl  9094  lincmb01cmp  9101  uzsubsubfz  9142  difelfzle  9222  fzonmapblen  9273  eluzgtdifelfzo  9283  subfzo0  9328  modfzo0difsn  9477  expubnd  9630  absdiflt  10116  absdifle  10117  elicc4abs  10118  abssubge0  10126  abs2difabs  10132  maxabsle  10228