ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resubcld Unicode version

Theorem resubcld 7541
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resubcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resubcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resubcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 resubcl 7428 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 403 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1434  (class class class)co 5537   RRcr 7031    - cmin 7335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-setind 4282  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-sub 7337  df-neg 7338
This theorem is referenced by:  ltsubadd  7592  lesubadd  7594  ltaddsub  7596  leaddsub  7598  lesub1  7616  lesub2  7617  ltsub1  7618  ltsub2  7619  lt2sub  7620  le2sub  7621  rereim  7742  ltmul1a  7747  cru  7758  lemul1a  7992  ztri3or  8464  lincmb01cmp  9090  iccf1o  9091  rebtwn2z  9330  qbtwnrelemcalc  9331  qbtwnre  9332  intfracq  9391  modqval  9395  modqlt  9404  modqsubdir  9464  serile  9560  expnbnd  9682  crre  9871  remullem  9885  recvguniqlem  10007  resqrexlemover  10023  resqrexlemcalc2  10028  resqrexlemcalc3  10029  resqrexlemnmsq  10030  resqrexlemnm  10031  resqrexlemcvg  10032  resqrexlemglsq  10035  resqrexlemga  10036  fzomaxdiflem  10125  caubnd2  10130  amgm2  10131  icodiamlt  10193  qdenre  10215  maxabslemab  10219  maxabslemlub  10220  maxltsup  10231  mulcn2  10278  climle  10299  climsqz  10300  climsqz2  10301  climcvg1nlem  10313
  Copyright terms: Public domain W3C validator