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Theorem reu2 2752
Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.)
Assertion
Ref Expression
reu2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reu2
StepHypRef Expression
1 nfv 1437 . . 3  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  ph )
21eu2 1960 . 2  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y ) ) )
3 df-reu 2330 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
4 df-rex 2329 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
5 df-ral 2328 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
6 19.21v 1769 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
7 nfv 1437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  y  e.  A
8 nfs1v 1831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [ y  /  x ] ph
97, 8nfan 1473 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )
10 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
11 sbequ12 1670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
1210, 11anbi12d 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) ) )
139, 12sbie 1690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )
1413anbi2i 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
15 an4 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
1614, 15bitri 177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
1716imbi1i 231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph ) )  ->  x  =  y )
)
18 impexp 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [ y  /  x ] ph ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
19 impexp 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
2017, 18, 193bitri 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
2120albii 1375 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
22 df-ral 2328 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
2322imbi2i 219 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
246, 21, 233bitr4i 205 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
2524albii 1375 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
265, 25bitr4i 180 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y
( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y ) )
274, 26anbi12i 441 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  A. x A. y
( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y ) ) )
282, 3, 273bitr4i 205 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102   A.wal 1257   E.wex 1397    e. wcel 1409   [wsb 1661   E!weu 1916   A.wral 2323   E.wrex 2324   E!wreu 2325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330
This theorem is referenced by: (None)
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