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Theorem reu6 2782
Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 20-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
reu6  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reu6
StepHypRef Expression
1 df-reu 2356 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
2 19.28v 1822 . . . . 5  |-  ( A. x ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  x  =  y ) ) )  <->  ( y  e.  A  /\  A. x
( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) ) )
3 eleq1 2142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
4 sbequ12 1695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
53, 4anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) ) )
6 equequ1 1639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  y  <->  y  =  y ) )
75, 6bibi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  <->  ( (
y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )  <->  y  =  y ) ) )
8 equid 1630 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  =  y
98tbt 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )  <->  ( ( y  e.  A  /\  [
y  /  x ] ph )  <->  y  =  y ) )
10 simpl 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  y  e.  A )
119, 10sylbir 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )  <->  y  =  y )  ->  y  e.  A )
127, 11syl6bi 161 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  -> 
y  e.  A ) )
1312spimv 1733 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  ->  y  e.  A
)
14 bi1 116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1514expdimp 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  /\  x  e.  A )  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
16 bi2 128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  ->  (
x  =  y  -> 
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
17 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ph )
1816, 17syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )
1918adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )
2015, 19impbid 127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  /\  x  e.  A )  ->  ( ph  <->  x  =  y ) )
2120ex 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) ) )
2221sps 1471 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )
2313, 22jca 300 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  ->  ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  x  =  y ) ) ) )
2423a5i 1476 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  ->  A. x ( y  e.  A  /\  (
x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) ) ) )
25 bi1 116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph 
<->  x  =  y )  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
2625imim2i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ph  ->  x  =  y ) ) )
2726impd 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) )  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
2827adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
29 eleq1a 2151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  x  e.  A )
)
3029adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( x  =  y  ->  x  e.  A ) )
3130imp 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  /\  x  =  y )  ->  x  e.  A )
32 bi2 128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph 
<->  x  =  y )  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )
3332imim2i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( x  =  y  ->  ph ) ) )
3433com23 77 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) )  ->  (
x  =  y  -> 
( x  e.  A  ->  ph ) ) )
3534imp 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) )  /\  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ph ) )
3635adantll 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ph )
)
3731, 36jcai 304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  /\  ph )
)
3837ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( x  =  y  ->  ( x  e.  A  /\  ph )
) )
3928, 38impbid 127 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y ) )
4039alimi 1385 . . . . . 6  |-  ( A. x ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  x  =  y ) ) )  ->  A. x
( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y ) )
4124, 40impbii 124 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  <->  A. x ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  x  =  y ) ) ) )
42 df-ral 2354 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )
4342anbi2i 445 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
ph 
<->  x  =  y ) )  <->  ( y  e.  A  /\  A. x
( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) ) )
442, 41, 433bitr4i 210 . . . 4  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  <-> 
( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ph  <->  x  =  y
) ) )
4544exbii 1537 . . 3  |-  ( E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ph  <->  x  =  y
) ) )
46 df-eu 1945 . . 3  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y ) )
47 df-rex 2355 . . 3  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  <->  E. y ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ph  <->  x  =  y ) ) )
4845, 46, 473bitr4i 210 . 2  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
491, 48bitri 182 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283   E.wex 1422    e. wcel 1434   [wsb 1686   E!weu 1942   A.wral 2349   E.wrex 2350   E!wreu 2351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1377  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356
This theorem is referenced by:  reu3  2783  reu6i  2784  reu8  2789  xpf1o  6385
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