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Theorem reu8 2789
Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
rmo4.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
reu8  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  (
ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem reu8
StepHypRef Expression
1 rmo4.1 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
21cbvreuv 2580 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! y  e.  A  ps )
3 reu6 2782 . 2  |-  ( E! y  e.  A  ps  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ps 
<->  y  =  x ) )
4 dfbi2 380 . . . . 5  |-  ( ( ps  <->  y  =  x )  <->  ( ( ps 
->  y  =  x
)  /\  ( y  =  x  ->  ps )
) )
54ralbii 2373 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  ( ps 
<->  y  =  x )  <->  A. y  e.  A  ( ( ps  ->  y  =  x )  /\  ( y  =  x  ->  ps ) ) )
6 ancom 262 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  /\  ph ) )
7 equcom 1634 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
87imbi2i 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  ->  x  =  y )  <->  ( ps  ->  y  =  x ) )
98ralbii 2373 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x ) )
109a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x ) ) )
11 biimt 239 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  ( x  e.  A  ->  ph ) ) )
12 df-ral 2354 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
y  =  x  ->  ps )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  (
y  =  x  ->  ps ) ) )
13 bi2.04 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  -> 
( y  =  x  ->  ps ) )  <-> 
( y  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  ps )
) )
1413albii 1400 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  ( y  =  x  ->  ps )
)  <->  A. y ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  ->  ps ) ) )
15 vex 2605 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
16 eleq1 2142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1716, 1imbi12d 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  ps )
) )
1817bicomd 139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( y  e.  A  ->  ps )  <->  ( x  e.  A  ->  ph )
) )
1918equcoms 1635 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  A  ->  ps )  <->  ( x  e.  A  ->  ph )
) )
2015, 19ceqsalv 2630 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  ps )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ph ) )
2112, 14, 203bitrri 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  ->  ph )  <->  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps ) )
2211, 21syl6bb 194 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<-> 
A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps ) ) )
2310, 22anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  /\  ph )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x )  /\  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps )
) ) )
246, 23syl5bb 190 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x )  /\  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps )
) ) )
25 r19.26 2486 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
( ps  ->  y  =  x )  /\  (
y  =  x  ->  ps ) )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x )  /\  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps )
) )
2624, 25syl6rbbr 197 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ( ps  ->  y  =  x )  /\  ( y  =  x  ->  ps ) )  <-> 
( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) ) )
275, 26syl5bb 190 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ps  <->  y  =  x )  <->  ( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) ) )
2827rexbiia 2382 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ps 
<->  y  =  x )  <->  E. x  e.  A  ( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
292, 3, 283bitri 204 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  (
ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   E!wreu 2351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-v 2604
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