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Theorem reuind 2767
Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
reuind.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
reuind.2  |-  ( x  =  y  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
reuind  |-  ( ( A. x A. y
( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  A  =  B )  /\  E. x ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  E! z  e.  C  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )
Distinct variable groups:    y, z, A   
x, z, B    x, y, C, z    ph, y,
z    ps, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem reuind
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reuind.2 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  A  =  B )
21eleq1d 2122 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  C  <->  B  e.  C ) )
3 reuind.1 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
42, 3anbi12d 450 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  <->  ( B  e.  C  /\  ps )
) )
54cbvexv 1811 . . . . 5  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  <->  E. y ( B  e.  C  /\  ps )
)
6 r19.41v 2483 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  C  ( z  =  B  /\  ps )  <->  ( E. z  e.  C  z  =  B  /\  ps ) )
76exbii 1512 . . . . . 6  |-  ( E. y E. z  e.  C  ( z  =  B  /\  ps )  <->  E. y ( E. z  e.  C  z  =  B  /\  ps ) )
8 rexcom4 2594 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  C  E. y ( z  =  B  /\  ps )  <->  E. y E. z  e.  C  ( z  =  B  /\  ps )
)
9 risset 2369 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  C  <->  E. z  e.  C  z  =  B )
109anbi1i 439 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  C  /\  ps )  <->  ( E. z  e.  C  z  =  B  /\  ps ) )
1110exbii 1512 . . . . . 6  |-  ( E. y ( B  e.  C  /\  ps )  <->  E. y ( E. z  e.  C  z  =  B  /\  ps ) )
127, 8, 113bitr4ri 206 . . . . 5  |-  ( E. y ( B  e.  C  /\  ps )  <->  E. z  e.  C  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)
135, 12bitri 177 . . . 4  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  <->  E. z  e.  C  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)
14 eqeq2 2065 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  (
z  =  A  <->  z  =  B ) )
1514imim2i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  ( z  =  A  <->  z  =  B ) ) )
16 bi2 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  A  <->  z  =  B )  ->  (
z  =  B  -> 
z  =  A ) )
1716imim2i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( z  =  A  <-> 
z  =  B ) )  ->  ( (
( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
z  =  B  -> 
z  =  A ) ) )
18 an31 506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  /\  z  =  B )  <->  ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  /\  ( A  e.  C  /\  ph )
) )
1918imbi1i 231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  /\  z  =  B )  ->  z  =  A )  <->  ( (
( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  /\  ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  z  =  A ) )
20 impexp 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  /\  z  =  B )  ->  z  =  A )  <->  ( (
( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
z  =  B  -> 
z  =  A ) ) )
21 impexp 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  /\  ( A  e.  C  /\  ph ) )  ->  z  =  A )  <->  ( (
z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
2219, 20, 213bitr3i 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( z  =  B  ->  z  =  A ) )  <->  ( (
z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
2317, 22sylib 131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( z  =  A  <-> 
z  =  B ) )  ->  ( (
z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
2415, 23syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
25242alimi 1361 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  A. x A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
26 19.23v 1779 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( E. y ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
27 an12 503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  <->  ( B  e.  C  /\  (
z  =  B  /\  ps ) ) )
28 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  C  <->  B  e.  C ) )
2928adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  B  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  <->  B  e.  C ) )
3029pm5.32ri 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( z  =  B  /\  ps ) )  <-> 
( B  e.  C  /\  ( z  =  B  /\  ps ) ) )
3127, 30bitr4i 180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  <->  ( z  e.  C  /\  (
z  =  B  /\  ps ) ) )
3231exbii 1512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  <->  E. y
( z  e.  C  /\  ( z  =  B  /\  ps ) ) )
33 19.42v 1802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( z  e.  C  /\  ( z  =  B  /\  ps ) )  <->  ( z  e.  C  /\  E. y
( z  =  B  /\  ps ) ) )
3432, 33bitri 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  <->  ( z  e.  C  /\  E. y
( z  =  B  /\  ps ) ) )
3534imbi1i 231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. y ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( (
z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
3626, 35bitri 177 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( (
z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
3736albii 1375 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  A. x ( ( z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
38 19.21v 1769 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( (
z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
3937, 38bitri 177 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( z  =  B  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  -> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )  <->  ( ( z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps )
)  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
4025, 39sylib 131 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  (
( z  e.  C  /\  E. y ( z  =  B  /\  ps ) )  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
4140expd 249 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  (
z  e.  C  -> 
( E. y ( z  =  B  /\  ps )  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) ) )
4241reximdvai 2436 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  ( E. z  e.  C  E. y ( z  =  B  /\  ps )  ->  E. z  e.  C  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
4313, 42syl5bi 145 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps ) )  ->  A  =  B )  ->  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  E. z  e.  C  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) ) )
4443imp 119 . 2  |-  ( ( A. x A. y
( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  A  =  B )  /\  E. x ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  E. z  e.  C  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )
45 pm4.24 381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  C  /\  ph )  <->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( A  e.  C  /\  ph )
) )
4645biimpi 117 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( A  e.  C  /\  ph ) ) )
47 prth 330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  (
( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( A  e.  C  /\  ph ) )  -> 
( z  =  A  /\  w  =  A ) ) )
48 eqtr3 2075 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  A  /\  w  =  A )  ->  z  =  w )
4946, 47, 48syl56 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  (
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w ) )
5049alanimi 1364 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w ) )
51 19.23v 1779 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w )  <->  ( E. x
( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w ) )
5251biimpi 117 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w )  ->  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w ) )
5352com12 30 . . . . . 6  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  w )  ->  z  =  w ) )
5450, 53syl5 32 . . . . 5  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  ( ( A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  -> 
z  =  w ) )
5554a1d 22 . . . 4  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  (
( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  z  =  w ) ) )
5655ralrimivv 2417 . . 3  |-  ( E. x ( A  e.  C  /\  ph )  ->  A. z  e.  C  A. w  e.  C  ( ( A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  -> 
z  =  w ) )
5756adantl 266 . 2  |-  ( ( A. x A. y
( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  A  =  B )  /\  E. x ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  A. z  e.  C  A. w  e.  C  ( ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  z  =  w ) )
58 eqeq1 2062 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  A  <->  w  =  A ) )
5958imbi2d 223 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  <-> 
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) ) )
6059albidv 1721 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  <->  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) ) )
6160reu4 2758 . 2  |-  ( E! z  e.  C  A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  <->  ( E. z  e.  C  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. z  e.  C  A. w  e.  C  ( ( A. x ( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A )  /\  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  w  =  A ) )  ->  z  =  w ) ) )
6244, 57, 61sylanbrc 402 1  |-  ( ( A. x A. y
( ( ( A  e.  C  /\  ph )  /\  ( B  e.  C  /\  ps )
)  ->  A  =  B )  /\  E. x ( A  e.  C  /\  ph )
)  ->  E! z  e.  C  A. x
( ( A  e.  C  /\  ph )  ->  z  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102   A.wal 1257    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   E!wreu 2325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-v 2576
This theorem is referenced by: (None)
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