Theorem reusv1 4374

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression C ( y ). (Contributed by NM, 16-Dec-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv1	|- ( E. y e. B ph -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   B( y)   C( y)

Proof of Theorem reusv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2464	. . . 4 |- F/ y A. y e. B ( ph -> x = C )
2	1	nfmo 2017	. . 3 |- F/ y E* x A. y e. B ( ph -> x = C )
3		rsp 2478	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( y e. B -> ( ph -> x = C ) ) )
4	3	impd 252	. . . . . . 7 |- ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( ( y e. B /\ ph ) -> x = C ) )
5	4	com12 30	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) )
6	5	alrimiv 1846	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> A. x ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) )
7		moeq 2854	. . . . 5 |- E* x x = C
8		moim 2061	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) -> ( E* x x = C -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
9	6, 7, 8	mpisyl 1422	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) )
10	9	ex 114	. . 3 |- ( y e. B -> ( ph -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
11	2, 10	rexlimi 2540	. 2 |- ( E. y e. B ph -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) )
12		mormo 2640	. 2 |- ( E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) -> E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) )
13		reu5 2641	. . 3 |- ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> ( E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) /\ E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
14	13	rbaib 906	. 2 |- ( E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
15	11, 12, 14	3syl 17	1 |- ( E. y e. B ph -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   E*wmo 1998   A.wral 2414   E.wrex 2415   E!wreu 2416   E*wrmo 2417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-v 2683

This theorem is referenced by: (None)