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Theorem rexfiuz 10013
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, A    ph, j
Allowed substitution hints:    ph( k, n)

Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2550 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  (/)  ph )
)
21rexralbidv 2393 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
)
3 raleq 2550 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
42, 3bibi12d 233 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
5 raleq 2550 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  y  ph ) )
65rexralbidv 2393 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph ) )
7 raleq 2550 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
86, 7bibi12d 233 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
9 raleq 2550 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
109rexralbidv 2393 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
11 raleq 2550 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 233 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
13 raleq 2550 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  A  ph ) )
1413rexralbidv 2393 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph ) )
15 raleq 2550 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 233 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
17 0z 8443 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
18 elex2 2616 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  E. j 
j  e.  ZZ )
1917, 18ax-mp 7 . . . 4  |-  E. j 
j  e.  ZZ
20 ral0 3350 . . . . 5  |-  A. n  e.  (/)  ph
2120rgen2w 2420 . . . 4  |-  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
22 r19.2m 3336 . . . 4  |-  ( ( E. j  j  e.  ZZ  /\  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
2319, 21, 22mp2an 417 . . 3  |-  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
24 ral0 3350 . . 3  |-  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph
2523, 242th 172 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
26 anbi1 454 . . . 4  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
27 rexanuz 10012 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
28 ralunb 3154 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } )
ph 
<->  ( A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } ph ) )
2928ralbii 2373 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
3029rexbii 2374 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
31 vex 2605 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
32 ralsnsg 3438 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
33 ralcom 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
34 ralsnsg 3438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3533, 34syl5bb 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  [. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3635rexbidv 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
37 sbcrex 2894 . . . . . . . . 9  |-  ( [. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph )
3836, 37syl6rbbr 197 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
3932, 38bitrd 186 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
4031, 39ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph )
4140anbi2i 445 . . . . 5  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
4227, 30, 413bitr4i 210 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
43 ralunb 3154 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e. 
{ z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4426, 42, 433bitr4g 221 . . 3  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4544a1i 9 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
464, 8, 12, 16, 25, 45findcard2 6423 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   _Vcvv 2602   [.wsbc 2816    u. cun 2972   (/)c0 3258   {csn 3406   ` cfv 4932   Fincfn 6287   0cc0 7043   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-er 6172  df-en 6288  df-fin 6290  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701
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