ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexico Unicode version

Theorem rexico 10292
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    ph, j
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
2 pnfxr 7269 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
3 icossre 9089 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
41, 2, 3sylancl 404 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
5 ssrexv 3069 . . 3  |-  ( ( B [,) +oo )  C_  RR  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
7 maxcl 10281 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
87adantll 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9 maxle1 10282 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  ) )
109adantll 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  ) )
11 elicopnf 9104 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( sup ( { B , 
j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  <_  sup ( { B , 
j } ,  RR ,  <  ) ) ) )
1211ad2antlr 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  <_  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  ) ) ) )
138, 10, 12mpbir2and 886 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo ) )
14 simpllr 501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
15 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  j  e.  RR )
16 simpll 496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1716sselda 3009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  k  e.  RR )
18 maxleastb 10285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( sup ( { B , 
j } ,  RR ,  <  )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_  k ) ) )
1914, 15, 17, 18syl3anc 1170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
20 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  k  /\  j  <_  k )  -> 
j  <_  k )
2119, 20syl6bi 161 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  j  <_  k ) )
2221imim1d 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ph )  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  ph ) ) )
2322ralimdva 2434 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  A. k  e.  A  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_ 
k  ->  ph ) ) )
24 breq1 3809 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  ->  ( n  <_ 
k  <->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_ 
k ) )
2524imbi1d 229 . . . . . . 7  |-  ( n  =  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  ->  ( ( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_ 
k  ->  ph ) ) )
2625ralbidv 2373 . . . . . 6  |-  ( n  =  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  ph ) ) )
2726rspcev 2710 . . . . 5  |-  ( ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo )  /\  A. k  e.  A  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  ph )
)  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) )
2813, 23, 27syl6an 1364 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph ) ) )
2928rexlimdva 2482 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
30 breq1 3809 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  k  <->  j  <_  k ) )
3130imbi1d 229 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3231ralbidv 2373 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3332cbvrexv 2583 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
3429, 33syl6ib 159 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
356, 34impbid 127 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354    C_ wss 2983   {cpr 3418   class class class wbr 3806  (class class class)co 5564   supcsup 6490   RRcr 7078   +oocpnf 7248   RR*cxr 7250    < clt 7251    <_ cle 7252   [,)cico 9025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-sup 6492  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-rp 8852  df-ico 9029  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator