Theorem rexrnmpt2 5641

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
ralrnmpt2.2	|- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrnmpt2	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   ps, z   x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y)   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpt2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	rnmpt2 5636	. . . 4 |- ran F = { w | E. x e. A E. y e. B w = C }
3	2	rexeqi 2555	. . 3 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph )
4		eqeq1 2088	. . . . 5 |- ( w = z -> ( w = C <-> z = C ) )
5	4	2rexbidv 2392	. . . 4 |- ( w = z -> ( E. x e. A E. y e. B w = C <-> E. x e. A E. y e. B z = C ) )
6	5	rexab 2755	. . 3 |- ( E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
7		rexcom4 2623	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
8		r19.41v 2511	. . . . 5 |- ( E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
9	8	exbii 1537	. . . 4 |- ( E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
10	7, 9	bitr2i 183	. . 3 |- ( E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
11	3, 6, 10	3bitri 204	. 2 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
12		rexcom4 2623	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) )
13		r19.41v 2511	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
14	13	exbii 1537	. . . . . 6 |- ( E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
15	12, 14	bitri 182	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
16		ralrnmpt2.2	. . . . . . . 8 |- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )
17	16	ceqsexgv 2725	. . . . . . 7 |- ( C e. V -> ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
18	17	ralimi 2427	. . . . . 6 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
19		rexbi 2491	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
21	15, 20	syl5bbr 192	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
22	21	ralimi 2427	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
23		rexbi 2491	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
25	11, 24	syl5bb 190	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   E.wrex 2350   ran crn 4366   |-> cmpt2 5539

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-br 3788  df-opab 3842  df-cnv 4373  df-dm 4375  df-rn 4376  df-oprab 5541  df-mpt2 5542

This theorem is referenced by: (None)