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Theorem rexun 3226
Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
rexun  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )

Proof of Theorem rexun
StepHypRef Expression
1 df-rex 2399 . 2  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph ) )
2 19.43 1592 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
)  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
) )
3 elun 3187 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
43anbi1i 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ph ) )
5 andir 793 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
64, 5bitri 183 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
) )
76exbii 1569 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  E. x
( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
8 df-rex 2399 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
9 df-rex 2399 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  ph  <->  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
)
108, 9orbi12i 738 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
112, 7, 103bitr4i 211 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
121, 11bitri 183 1  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682   E.wex 1453    e. wcel 1465   E.wrex 2394    u. cun 3039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045
This theorem is referenced by:  rexprg  3545  rextpg  3547  iunxun  3862  finexdc  6764  exfzdc  9972
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