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Theorem rexun 3151
Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
rexun  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )

Proof of Theorem rexun
StepHypRef Expression
1 df-rex 2329 . 2  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph ) )
2 19.43 1535 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
)  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
) )
3 elun 3112 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
43anbi1i 439 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ph ) )
5 andir 743 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
64, 5bitri 177 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
) )
76exbii 1512 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  E. x
( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
8 df-rex 2329 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
9 df-rex 2329 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  ph  <->  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
)
108, 9orbi12i 691 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
112, 7, 103bitr4i 205 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
121, 11bitri 177 1  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324    u. cun 2943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950
This theorem is referenced by:  rexprg  3450  rextpg  3452  iunxun  3763
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