Theorem rexuz2 8802

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz2	|- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem rexuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 8758	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) )
2		df-3an 922	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) )
3	1, 2	bitri 182	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) )
4	3	anbi1i 446	. . . 4 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) )
5		anass 393	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
6		anass 393	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
7		an12 526	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
8	6, 7	bitri 182	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
9	5, 8	bitri 182	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
10	4, 9	bitri 182	. . 3 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
11	10	rexbii2 2382	. 2 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
12		r19.42v 2516	. 2 |- ( E. n e. ZZ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )
13	11, 12	bitri 182	1 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   e. wcel 1434   E.wrex 2354   class class class wbr 3805   ` cfv 4952   <_ cle 7268   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-ov 5566  df-neg 7401  df-z 8485  df-uz 8753

This theorem is referenced by:  2rexuz  8803