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Theorem riotass2 5724
Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
riotass2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem riotass2
StepHypRef Expression
1 reuss2 3326 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
2 simplr 504 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps ) )
3 riotasbc 5713 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph )
4 riotacl 5712 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
5 rspsbc 2963 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps ) ) )
6 sbcimg 2922 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps )  <->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
75, 6sylibd 148 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
84, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
93, 8mpid 42 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
101, 2, 9sylc 62 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
111, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
12 ssel 3061 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1312ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1411, 13mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B )
15 simprr 506 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  B  ps )
16 nfriota1 5705 . . . . 5  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A  ph )
1716nfsbc1 2899 . . . . 5  |-  F/ x [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps
18 sbceq1a 2891 . . . . 5  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  ph )  -> 
( ps  <->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
1916, 17, 18riota2f 5719 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2014, 15, 19syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2110, 20mpbid 146 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph )
)
2221eqcomd 2123 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   E!wreu 2395   [.wsbc 2882    C_ wss 3041   iota_crio 5697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-iota 5058  df-riota 5698
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