Theorem rnexg 4799

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4356	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4356	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3235	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4797	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3101	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4062	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 420	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   u. cun 3064   C_ wss 3066   U.cuni 3731   dom cdm 4534   ran crn 4535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545

This theorem is referenced by:  rnex  4801  imaexg  4888  xpexr2m  4975  elxp4  5021  elxp5  5022  cnvexg  5071  coexg  5078  fvexg  5433  cofunexg  6002  funrnex  6005  abrexexg  6009  2ndvalg  6034  tposexg  6148  iunon  6174  fopwdom  6723  djuexb  6922  focdmex  10526  shftfvalg  10583  ovshftex  10584  restval  12115  txvalex  12412  txval  12413  blbas  12591  xmettxlem  12667  xmettx  12668