Theorem rnexg 4645

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4221	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4221	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3146	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4643	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3017	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 3937	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 415	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434   _Vcvv 2610   u. cun 2980   C_ wss 2982   U.cuni 3621   dom cdm 4391   ran crn 4392

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-cnv 4399  df-dm 4401  df-rn 4402

This theorem is referenced by:  rnex  4647  imaexg  4730  xpexr2m  4812  elxp4  4858  elxp5  4859  cnvexg  4905  coexg  4912  fvexg  5246  cofunexg  5790  funrnex  5793  abrexexg  5797  2ndvalg  5822  tposexg  5928  iunon  5954  fopwdom  6402  focdmex  9881  shftfvalg  9925  ovshftex  9926