Theorem rpred 9483

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpred	|- ( ph -> A e. RR )

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9452	. 2 |- RR+ C_ RR
2		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	1, 2	sseldi 3095	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   RRcr 7619   RR+crp 9441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rab 2425  df-in 3077  df-ss 3084  df-rp 9442

This theorem is referenced by:  rpxrd  9484  rpcnd  9485  rpregt0d  9490  rprege0d  9491  rprene0d  9492  rprecred  9495  ltmulgt11d  9519  ltmulgt12d  9520  gt0divd  9521  ge0divd  9522  lediv12ad  9543  ltexp2a  10345  leexp2a  10346  expnlbnd2  10417  cvg1nlemcxze  10754  cvg1nlemcau  10756  cvg1nlemres  10757  cvg1n  10758  resqrexlemp1rp  10778  resqrexlemfp1  10781  resqrexlemover  10782  resqrexlemdec  10783  resqrexlemdecn  10784  resqrexlemlo  10785  resqrexlemcalc1  10786  resqrexlemcalc2  10787  resqrexlemcalc3  10788  resqrexlemnmsq  10789  resqrexlemnm  10790  resqrexlemcvg  10791  resqrexlemgt0  10792  resqrexlemoverl  10793  resqrexlemglsq  10794  resqrexlemga  10795  cau3lem  10886  bdtrilem  11010  bdtri  11011  addcn2  11079  mulcn2  11081  reccn2ap  11082  climrecvg1n  11117  climcvg1nlem  11118  isumrpcl  11263  expcnvap0  11271  absgtap  11279  cvgratnnlemsumlt  11297  cvgratnnlemfm  11298  cvgratnnlemrate  11299  mertenslemi1  11304  effsumlt  11398  eirraplem  11483  ssblex  12600  metss2lem  12666  addcncntoplem  12720  mulcncflem  12759  ivthinclemlopn  12783  ivthinclemuopn  12785  limcimolemlt  12802  limcimo  12803  cnplimclemle  12806  limccnp2lem  12814  dveflem  12855  pilem3  12864  qdencn  13222  cvgcmp2nlemabs  13227  trilpolemclim  13229  trilpolemisumle  13231  trilpolemeq1  13233  taupi  13239