Theorem rspc 2778

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2419	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2279	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1508	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1551	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2200	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2763	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	syl5bi 151	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   F/wnf 1436   e. wcel 1480   A.wral 2414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683

This theorem is referenced by:  rspcv  2780  rspc2  2795  pofun  4229  omsinds  4530  fmptcof  5580  fliftfuns  5692  qliftfuns  6506  xpf1o  6731  finexdc  6789  ssfirab  6815  iunfidisj  6827  lble  8698  exfzdc  10010  uzsinds  10208  sumeq2  11121  sumfct  11136  sumrbdclem  11138  summodclem3  11142  summodclem2a  11143  zsumdc  11146  fsumgcl  11148  fsum3  11149  fsumf1o  11152  isumss  11153  isumss2  11155  fsum3cvg2  11156  fsumadd  11168  isummulc2  11188  fsum2dlemstep  11196  fisumcom2  11200  fsumshftm  11207  fisum0diag2  11209  fsummulc2  11210  fsum00  11224  fsumabs  11227  fsumrelem  11233  fsumiun  11239  isumshft  11252  mertenslem2  11298  prodeq2  11319  prodrbdclem  11333  zsupcllemstep  11627  infssuzex  11631  bezoutlemmain  11675  ctiunctlemudc  11939  iuncld  12273  txcnp  12429  fsumcncntop  12714  bj-nntrans  13138