Theorem sbal1yz 1919

Description: Lemma for proving sbal1 1920. Same as sbal1 1920 but with an additional distinct variable constraint on y and z. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sbal1yz	|- ( -. A. x x = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal1yz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dveeq2or 1738	. . . . . 6 |- ( A. x x = z \/ F/ x y = z )
2		equcom 1634	. . . . . . . . 9 |- ( y = z <-> z = y )
3	2	nfbii 1403	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y = z <-> F/ x z = y )
4		19.21t 1515	. . . . . . . 8 |- ( F/ x z = y -> ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) )
5	3, 4	sylbi 119	. . . . . . 7 |- ( F/ x y = z -> ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) )
6	5	orim2i 711	. . . . . 6 |- ( ( A. x x = z \/ F/ x y = z ) -> ( A. x x = z \/ ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) ) )
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( A. x x = z \/ ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) )
8	7	ori 675	. . . 4 |- ( -. A. x x = z -> ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) )
9	8	albidv 1746	. . 3 |- ( -. A. x x = z -> ( A. y A. x ( z = y -> ph ) <-> A. y ( z = y -> A. x ph ) ) )
10		alcom 1408	. . . 4 |- ( A. y A. x ( z = y -> ph ) <-> A. x A. y ( z = y -> ph ) )
11		sb6 1808	. . . . . 6 |- ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) )
12	2	imbi1i 236	. . . . . . 7 |- ( ( y = z -> ph ) <-> ( z = y -> ph ) )
13	12	albii 1400	. . . . . 6 |- ( A. y ( y = z -> ph ) <-> A. y ( z = y -> ph ) )
14	11, 13	bitri 182	. . . . 5 |- ( [ z / y ] ph <-> A. y ( z = y -> ph ) )
15	14	albii 1400	. . . 4 |- ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( z = y -> ph ) )
16	10, 15	bitr4i 185	. . 3 |- ( A. y A. x ( z = y -> ph ) <-> A. x [ z / y ] ph )
17		sb6 1808	. . . 4 |- ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) )
18	2	imbi1i 236	. . . . 5 |- ( ( y = z -> A. x ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) )
19	18	albii 1400	. . . 4 |- ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. y ( z = y -> A. x ph ) )
20	17, 19	bitr2i 183	. . 3 |- ( A. y ( z = y -> A. x ph ) <-> [ z / y ] A. x ph )
21	9, 16, 20	3bitr3g 220	. 2 |- ( -. A. x x = z -> ( A. x [ z / y ] ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
22	21	bicomd 139	1 |- ( -. A. x x = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   \/ wo 662   A.wal 1283   F/wnf 1390   [wsb 1686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1391  df-sb 1687

This theorem is referenced by:  sbal1  1920