Theorem sbal2 1995

Description: Move quantifier in and out of substitution. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
sbal2	|- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Distinct variable groups:   y, z   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alcom 1454	. . 3 |- ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
2		hbnae 1699	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
3		dveeq1 1992	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> ( y = z -> A. x y = z ) )
4	3	alimi 1431	. . . . . 6 |- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
5	4	hbnaes 1701	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
6		19.21ht 1560	. . . . 5 |- ( A. x ( y = z -> A. x y = z ) -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
8	2, 7	albidh 1456	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
9	1, 8	syl5rbbr 194	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) ) )
10		sb6 1858	. 2 |- ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) )
11		sb6 1858	. . 3 |- ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) )
12	11	albii 1446	. 2 |- ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
13	9, 10, 12	3bitr4g 222	1 |- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1329   [wsb 1735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736

This theorem is referenced by: (None)