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Theorem sbcfung 4955
Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
sbcfung  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Fun  F  <->  Fun  [_ A  /  x ]_ F ) )

Proof of Theorem sbcfung
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbcan 2857 . . 3  |-  ( [. A  /  x ]. ( Rel  F  /\  A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z ) )  <->  ( [. A  /  x ]. Rel  F  /\  [. A  /  x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) ) )
2 sbcrel 4452 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Rel  F  <->  Rel  [_ A  /  x ]_ F ) )
3 sbcal 2866 . . . . 5  |-  ( [. A  /  x ]. A. w A. y A. z
( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  A. w [. A  /  x ]. A. y A. z
( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z ) )
4 sbcal 2866 . . . . . . 7  |-  ( [. A  /  x ]. A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y [. A  /  x ]. A. z ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z ) )
5 sbcal 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( [. A  /  x ]. A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. z [. A  /  x ]. ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) )
6 sbcimg 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  ( [. A  /  x ]. (
w F y  /\  w F z )  ->  [. A  /  x ]. y  =  z
) ) )
7 sbcan 2857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. A  /  x ]. (
w F y  /\  w F z )  <->  ( [. A  /  x ]. w F y  /\  [. A  /  x ]. w F z ) )
8 sbcbrg 3842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. w F y  <->  [_ A  /  x ]_ w [_ A  /  x ]_ F [_ A  /  x ]_ y
) )
9 csbconstg 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ w  =  w )
10 csbconstg 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ y  =  y )
119, 10breq12d 3806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( [_ A  /  x ]_ w [_ A  /  x ]_ F [_ A  /  x ]_ y  <->  w [_ A  /  x ]_ F
y ) )
128, 11bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. w F y  <->  w [_ A  /  x ]_ F
y ) )
13 sbcbrg 3842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. w F z  <->  [_ A  /  x ]_ w [_ A  /  x ]_ F [_ A  /  x ]_ z
) )
14 csbconstg 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ z  =  z )
159, 14breq12d 3806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( [_ A  /  x ]_ w [_ A  /  x ]_ F [_ A  /  x ]_ z  <->  w [_ A  /  x ]_ F
z ) )
1613, 15bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. w F z  <->  w [_ A  /  x ]_ F
z ) )
1712, 16anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
( [. A  /  x ]. w F y  /\  [. A  /  x ]. w F z )  <->  ( w [_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z ) ) )
187, 17syl5bb 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( w F y  /\  w F z )  <->  ( w [_ A  /  x ]_ F
y  /\  w [_ A  /  x ]_ F
z ) ) )
19 sbcg 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. y  =  z  <->  y  =  z ) )
2018, 19imbi12d 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  (
( [. A  /  x ]. ( w F y  /\  w F z )  ->  [. A  /  x ]. y  =  z )  <->  ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
216, 20bitrd 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  ( (
w [_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
2221albidv 1746 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. z [. A  /  x ]. ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
235, 22syl5bb 190 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
2423albidv 1746 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y [. A  /  x ]. A. z ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
254, 24syl5bb 190 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. y A. z
( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
2625albidv 1746 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. w [. A  /  x ]. A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. w A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
273, 26syl5bb 190 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. w A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
282, 27anbi12d 457 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( [. A  /  x ]. Rel  F  /\  [. A  /  x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z ) )  <->  ( Rel  [_ A  /  x ]_ F  /\  A. w A. y A. z ( ( w [_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) ) )
291, 28syl5bb 190 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( Rel  F  /\  A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) )  <->  ( Rel  [_ A  /  x ]_ F  /\  A. w A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) ) )
30 dffun2 4942 . . 3  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) ) )
3130sbcbii 2874 . 2  |-  ( [. A  /  x ]. Fun  F  <->  [. A  /  x ]. ( Rel  F  /\  A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) ) )
32 dffun2 4942 . 2  |-  ( Fun  [_ A  /  x ]_ F  <->  ( Rel  [_ A  /  x ]_ F  /\  A. w A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
3329, 31, 323bitr4g 221 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Fun  F  <->  Fun  [_ A  /  x ]_ F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283    e. wcel 1434   [.wsbc 2816   [_csb 2909   class class class wbr 3793   Rel wrel 4376   Fun wfun 4926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-fun 4934
This theorem is referenced by:  sbcfng  5075
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