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Theorem serif0 10327
Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcauc.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
serif0.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
serif0.3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
serif0.4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ,  CC )  e.  dom  ~~>  )
serif0.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
serif0  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z    ph, k    k, V

Proof of Theorem serif0
Dummy variables  j  m  n  x  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serif0.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 serif0.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ,  CC )  e.  dom  ~~>  )
3 climcauc.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
43climcaucn 10326 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq M (  +  ,  F ,  CC )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  j ) ) )  <  x
) )
51, 2, 4syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  j ) ) )  <  x ) )
63cau3 10139 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  j ) ) )  <  x
)  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x
) )
75, 6sylib 120 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x
) )
83peano2uzs 8753 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
98adantl 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
10 eluzelz 8709 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
11 uzid 8714 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
12 peano2uz 8752 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m )
)
13 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k )  =  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) )
1413oveq2d 5559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )
1514fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
1615breq1d 3803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x
) )
1716rspcv 2698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x ) )
1810, 11, 12, 174syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x ) )
1918adantld 272 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x ) )
2019ralimia 2425 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x
)  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x
)
21 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2221, 3syl6eleq 2172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
23 eluzelz 8709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
25 eluzp1m1 8723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )
2624, 25sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
27 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  =  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) ) )
28 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
m  +  1 )  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
2928fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) )
3027, 29oveq12d 5561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )
3130fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
3231breq1d 3803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
3332rspcv 2698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <  x ) )
3426, 33syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <  x ) )
35 serif0.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
363, 1, 35iserf 9549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ,  CC ) : Z --> CC )
3736ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  seq M (  +  ,  F ,  CC ) : Z --> CC )
383uztrn2 8717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  Z )
3921, 26, 38syl2an2r 560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  Z )
4037, 39ffvelrnd 5335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
413uztrn2 8717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
429, 41sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
4337, 42ffvelrnd 5335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k )  e.  CC )
4440, 43abssubd 10217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) ) ) ) )
45 eluzelz 8709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
4645adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
4746zcnd 8551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
48 ax-1cn 7131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
49 npcan 7384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
5047, 48, 49sylancl 404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  -  1 )  +  1 )  =  k )
5150fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k )
)
5251oveq2d 5559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )
5352fveq2d 5213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  k
) ) ) )
541ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
55 eluzp1p1 8725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
5622, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
57 eqid 2082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
5857uztrn2 8717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
5956, 58sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
60 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( j  +  1 ) ) )  /\  a  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  M ) )
6160, 3syl6eleqr 2173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( j  +  1 ) ) )  /\  a  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  a  e.  Z
)
6235ralrimiva 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
6362ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( j  +  1 ) ) )  /\  a  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
64 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  a  ->  ( F `  k )  =  ( F `  a ) )
6564eleq1d 2148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  a  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  a )  e.  CC ) )
6665rspcva 2700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  Z  /\  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )  -> 
( F `  a
)  e.  CC )
6761, 63, 66syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( j  +  1 ) ) )  /\  a  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( F `  a )  e.  CC )
68 addcl 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( a  +  b )  e.  CC )
6968adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC ) )  -> 
( a  +  b )  e.  CC )
7054, 59, 67, 69iseqm1 9543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) ) )
7170oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) ) ) )
7235adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7342, 72syldan 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7440, 73pncan2d 7488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
(  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( F `
 k ) )
7571, 74eqtr2d 2115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k )  -  (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  (
k  -  1 ) ) ) )
7675fveq2d 5213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) ) ) ) )
7744, 53, 763eqtr4d 2124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
7877breq1d 3803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
) )
7934, 78sylibd 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
x ) )
8079ralrimdva 2442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  ( m  +  1 ) ) ) )  <  x  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  x ) )
8120, 80syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  x ) )
82 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
8382raleqdv 2556 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8483rspcev 2702 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
859, 81, 84syl6an 1364 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  x ) )
8685rexlimdva 2478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  x ) )
8786ralimdv 2431 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F ,  CC ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  k ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
887, 87mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)
89 serif0.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
90 eqidd 2083 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
913, 1, 89, 90, 35clim0c 10263 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
9288, 91mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   class class class wbr 3793   dom cdm 4371   -->wf 4928   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    - cmin 7346   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   RR+crp 8815    seqcseq 9521   abscabs 10021    ~~> cli 10255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157  ax-caucvg 7158
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-cj 9867  df-re 9868  df-im 9869  df-rsqrt 10022  df-abs 10023  df-clim 10256
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