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Theorem setindel 4291
Description:  e.-Induction in terms of membership in a class. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 22-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
setindel  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S )  ->  x  e.  S
)  ->  S  =  _V )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem setindel
StepHypRef Expression
1 clelsb3 2158 . . . . . . 7  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  S  <->  y  e.  S )
21ralbii 2347 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  S  <->  A. y  e.  x  y  e.  S )
3 df-ral 2328 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  S  <->  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  S ) )
42, 3bitri 177 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  S  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S ) )
54imbi1i 231 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  S  ->  x  e.  S )  <-> 
( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  S )  ->  x  e.  S
) )
65albii 1375 . . 3  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  S  ->  x  e.  S )  <->  A. x
( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  S )  ->  x  e.  S
) )
7 ax-setind 4290 . . 3  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  S  ->  x  e.  S )  ->  A. x  x  e.  S )
86, 7sylbir 129 . 2  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S )  ->  x  e.  S
)  ->  A. x  x  e.  S )
9 eqv 3268 . 2  |-  ( S  =  _V  <->  A. x  x  e.  S )
108, 9sylibr 141 1  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S )  ->  x  e.  S
)  ->  S  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   [wsb 1661   A.wral 2323   _Vcvv 2574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-ral 2328  df-v 2576
This theorem is referenced by:  setind  4292
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