ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftcan1 Unicode version

Theorem shftcan1 9923
Description: Cancellation law for the shift operation. (Contributed by NM, 4-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftcan1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( F 
shift  A )  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  B ) )

Proof of Theorem shftcan1
StepHypRef Expression
1 negcl 7427 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 shftfval.1 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
322shfti 9920 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( ( F 
shift  A )  shift  -u A
)  =  ( F 
shift  ( A  +  -u A ) ) )
41, 3mpdan 412 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( F  shift  A ) 
shift  -u A )  =  ( F  shift  ( A  +  -u A ) ) )
5 negid 7474 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
65oveq2d 5579 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( F  shift  ( A  +  -u A ) )  =  ( F  shift  0 ) )
74, 6eqtrd 2115 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( F  shift  A ) 
shift  -u A )  =  ( F  shift  0 ) )
87fveq1d 5231 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( F  shift  A )  shift  -u A ) `
 B )  =  ( ( F  shift  0 ) `  B ) )
92shftidt 9922 . 2  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( F  shift  0 ) `
 B )  =  ( F `  B
) )
108, 9sylan9eq 2135 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( F 
shift  A )  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2610   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095    + caddc 7098   -ucneg 7399    shift cshi 9903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-sub 7400  df-neg 7401  df-shft 9904
This theorem is referenced by:  shftcan2  9924  climshft  10344
  Copyright terms: Public domain W3C validator