Theorem shftfibg 10585

Description: Value of a fiber of the relation F. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftfibg	|- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = ( F " { ( B - A ) } ) )

Proof of Theorem shftfibg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
2		simp1 981	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> F e. V )
3		simp3 983	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
4		shftfvalg 10583	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift A ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
5	4	breqd 3935	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ F e. V ) -> ( B ( F shift A ) z <-> B { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } z ) )
6		vex 2684	. . . . . . 7 |- z e. _V
7		eleq1 2200	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( x e. CC <-> B e. CC ) )
8		oveq1 5774	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( x - A ) = ( B - A ) )
9	8	breq1d 3934	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( x - A ) F y <-> ( B - A ) F y ) )
10	7, 9	anbi12d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F y ) ) )
11		breq2 3928	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( B - A ) F y <-> ( B - A ) F z ) )
12	11	anbi2d 459	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( B e. CC /\ ( B - A ) F y ) <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
13		eqid 2137	. . . . . . . 8 |- { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) }
14	10, 12, 13	brabg 4186	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ z e. _V ) -> ( B { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } z <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
15	6, 14	mpan2 421	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( B { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } z <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
16	5, 15	sylan9bb 457	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ F e. V ) /\ B e. CC ) -> ( B ( F shift A ) z <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
17	1, 2, 3, 16	syl21anc 1215	. . . 4 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ( F shift A ) z <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
18	17	3anibar 1149	. . 3 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ( F shift A ) z <-> ( B - A ) F z ) )
19	18	abbidv 2255	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> { z | B ( F shift A ) z } = { z | ( B - A ) F z } )
20		imasng 4899	. . 3 |- ( B e. CC -> ( ( F shift A ) " { B } ) = { z | B ( F shift A ) z } )
21	20	3ad2ant3 1004	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = { z | B ( F shift A ) z } )
22	3, 1	subcld 8066	. . 3 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
23		imasng 4899	. . 3 |- ( ( B - A ) e. CC -> ( F " { ( B - A ) } ) = { z | ( B - A ) F z } )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F " { ( B - A ) } ) = { z | ( B - A ) F z } )
25	19, 21, 24	3eqtr4d 2180	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = ( F " { ( B - A ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2123   _Vcvv 2681   {csn 3522   class class class wbr 3924   {copab 3983   "cima 4537  (class class class)co 5767   CCcc 7611   - cmin 7926   shift cshi 10579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-shft 10580

This theorem is referenced by: (None)