ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval5 Unicode version

Theorem shftval5 9943
Description: Value of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftval5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  ( B  +  A ) )  =  ( F `  B ) )

Proof of Theorem shftval5
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
2 addcl 7237 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  e.  CC )
3 shftfval.1 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
43shftval 9939 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  +  A
)  e.  CC )  ->  ( ( F 
shift  A ) `  ( B  +  A )
)  =  ( F `
 ( ( B  +  A )  -  A ) ) )
51, 2, 4syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  ( B  +  A ) )  =  ( F `  ( ( B  +  A )  -  A
) ) )
6 pncan 7458 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  +  A )  -  A
)  =  B )
76fveq2d 5235 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( F `  (
( B  +  A
)  -  A ) )  =  ( F `
 B ) )
85, 7eqtrd 2115 . 2  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  ( B  +  A ) )  =  ( F `  B ) )
98ancoms 264 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  ( B  +  A ) )  =  ( F `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2611   ` cfv 4953  (class class class)co 5565   CCcc 7118    + caddc 7123    - cmin 7423    shift cshi 9928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-sub 7425  df-shft 9929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator