ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftvalg Unicode version

Theorem shftvalg 9862
Description: Value of a sequence shifted by  A. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
shftvalg  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  A ) `
 B )  =  ( F `  ( B  -  A )
) )

Proof of Theorem shftvalg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5550 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  shift  A )  =  ( F  shift  A ) )
21fveq1d 5211 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  shift  A ) `
 B )  =  ( ( F  shift  A ) `  B ) )
3 fveq1 5208 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( B  -  A ) )  =  ( F `  ( B  -  A )
) )
42, 3eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  shift  A ) `  B )  =  ( f `  ( B  -  A
) )  <->  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( F `  ( B  -  A ) ) ) )
54imbi2d 228 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( f  shift  A ) `
 B )  =  ( f `  ( B  -  A )
) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  A ) `
 B )  =  ( F `  ( B  -  A )
) ) ) )
6 vex 2605 . . . 4  |-  f  e. 
_V
76shftval 9851 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( f  shift  A ) `  B )  =  ( f `  ( B  -  A
) ) )
85, 7vtoclg 2659 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F 
shift  A ) `  B
)  =  ( F `
 ( B  -  A ) ) ) )
983impib 1137 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  A ) `
 B )  =  ( F `  ( B  -  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041    - cmin 7346    shift cshi 9840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-sub 7348  df-shft 9841
This theorem is referenced by:  climshftlemg  10279
  Copyright terms: Public domain W3C validator