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Theorem smoel 6165
Description: If  x is less than  y then a strictly monotone function's value will be strictly less at  x than at  y. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smoel  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B  /\  C  e.  A )  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A
) )

Proof of Theorem smoel
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smodm 6156 . . . . 5  |-  ( Smo 
B  ->  Ord  dom  B
)
2 ordtr1 4280 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
dom  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  A  e.  dom  B )  ->  C  e.  dom  B ) )
32ancomsd 267 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  B  ->  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  A
)  ->  C  e.  dom  B ) )
43expdimp 257 . . . . 5  |-  ( ( Ord  dom  B  /\  A  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  C  e.  dom  B ) )
51, 4sylan 281 . . . 4  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  A  ->  C  e.  dom  B
) )
6 df-smo 6151 . . . . . 6  |-  ( Smo 
B  <->  ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom 
B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y
) ) ) )
7 eleq1 2180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  y  <->  C  e.  y ) )
8 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  C  ->  ( B `  x )  =  ( B `  C ) )
98eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  C  ->  (
( B `  x
)  e.  ( B `
 y )  <->  ( B `  C )  e.  ( B `  y ) ) )
107, 9imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  ( C  e.  y  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  y ) ) ) )
11 eleq2 2181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( C  e.  y  <->  C  e.  A ) )
12 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( B `  y )  =  ( B `  A ) )
1312eleq2d 2187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( B `  C
)  e.  ( B `
 y )  <->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) )
1411, 13imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( C  e.  y  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  y ) )  <->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
1510, 14rspc2v 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  dom  B  /\  A  e.  dom  B )  ->  ( A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
1615ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
1716com12 30 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) )  ->  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
18173ad2ant3 989 . . . . . 6  |-  ( ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom  B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) )  ->  (
( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `
 C )  e.  ( B `  A
) ) ) )
196, 18sylbi 120 . . . . 5  |-  ( Smo 
B  ->  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
2019expdimp 257 . . . 4  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  dom  B  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
215, 20syld 45 . . 3  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  A  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C
)  e.  ( B `
 A ) ) ) )
2221pm2.43d 50 . 2  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  A  ->  ( B `  C
)  e.  ( B `
 A ) ) )
23223impia 1163 1  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B  /\  C  e.  A )  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   Ord word 4254   Oncon0 4255   dom cdm 4509   -->wf 5089   ` cfv 5093   Smo wsmo 6150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-tr 3997  df-iord 4258  df-iota 5058  df-fv 5101  df-smo 6151
This theorem is referenced by:  smoiun  6166  smoel2  6168
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