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Theorem smores 5962
Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
smores  |-  ( ( Smo  A  /\  B  e.  dom  A )  ->  Smo  ( A  |`  B ) )

Proof of Theorem smores
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funres 4991 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
A  ->  Fun  ( A  |`  B ) )
2 funfn 4981 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
A  <->  A  Fn  dom  A )
3 funfn 4981 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( A  |`  B )  <-> 
( A  |`  B )  Fn  dom  ( A  |`  B ) )
41, 2, 33imtr3i 198 . . . . . . 7  |-  ( A  Fn  dom  A  -> 
( A  |`  B )  Fn  dom  ( A  |`  B ) )
5 resss 4683 . . . . . . . . 9  |-  ( A  |`  B )  C_  A
6 rnss 4612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  |`  B )  C_  A  ->  ran  ( A  |`  B )  C_  ran  A )
75, 6ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ran  ( A  |`  B )  C_  ran  A
8 sstr 3016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( A  |`  B )  C_  ran  A  /\  ran  A  C_  On )  ->  ran  ( A  |`  B )  C_  On )
97, 8mpan 415 . . . . . . 7  |-  ( ran 
A  C_  On  ->  ran  ( A  |`  B ) 
C_  On )
104, 9anim12i 331 . . . . . 6  |-  ( ( A  Fn  dom  A  /\  ran  A  C_  On )  ->  ( ( A  |`  B )  Fn  dom  ( A  |`  B )  /\  ran  ( A  |`  B )  C_  On ) )
11 df-f 4956 . . . . . 6  |-  ( A : dom  A --> On  <->  ( A  Fn  dom  A  /\  ran  A 
C_  On ) )
12 df-f 4956 . . . . . 6  |-  ( ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On  <->  ( ( A  |`  B )  Fn 
dom  ( A  |`  B )  /\  ran  ( A  |`  B ) 
C_  On ) )
1310, 11, 123imtr4i 199 . . . . 5  |-  ( A : dom  A --> On  ->  ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On )
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( A : dom  A --> On  ->  ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On ) )
15 ordelord 4164 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  A  /\  B  e.  dom  A )  ->  Ord  B )
1615expcom 114 . . . . . 6  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( Ord  dom  A  ->  Ord  B ) )
17 ordin 4168 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  dom 
A )  ->  Ord  ( B  i^i  dom  A
) )
1817ex 113 . . . . . 6  |-  ( Ord 
B  ->  ( Ord  dom 
A  ->  Ord  ( B  i^i  dom  A )
) )
1916, 18syli 37 . . . . 5  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( Ord  dom  A  ->  Ord  ( B  i^i  dom  A ) ) )
20 dmres 4680 . . . . . 6  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )
21 ordeq 4155 . . . . . 6  |-  ( dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom 
A )  ->  ( Ord  dom  ( A  |`  B )  <->  Ord  ( B  i^i  dom  A )
) )
2220, 21ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  ( A  |`  B )  <->  Ord  ( B  i^i  dom  A )
)
2319, 22syl6ibr 160 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( Ord  dom  A  ->  Ord  dom  ( A  |`  B ) ) )
24 dmss 4582 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  |`  B )  C_  A  ->  dom  ( A  |`  B )  C_  dom  A )
255, 24ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  dom  ( A  |`  B )  C_  dom  A
26 ssralv 3067 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( A  |`  B ) 
C_  dom  A  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
2725, 26ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  -> 
( A `  x
)  e.  ( A `
 y ) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) )
28 ssralv 3067 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( A  |`  B ) 
C_  dom  A  ->  ( A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  ->  A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
2925, 28ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  -> 
( A `  x
)  e.  ( A `
 y ) )  ->  A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) )
3029ralimi 2431 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) )
3127, 30syl 14 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  -> 
( A `  x
)  e.  ( A `
 y ) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) )
32 inss1 3202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  dom  A )  C_  B
3320, 32eqsstri 3038 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( A  |`  B )  C_  B
34 simpl 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  ->  x  e.  dom  ( A  |`  B ) )
3533, 34sseldi 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  ->  x  e.  B )
36 fvres 5251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
( ( A  |`  B ) `  x
)  =  ( A `
 x ) )
38 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
y  e.  dom  ( A  |`  B ) )
3933, 38sseldi 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
y  e.  B )
40 fvres 5251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
( A  |`  B ) `
 y )  =  ( A `  y
) )
4139, 40syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
( ( A  |`  B ) `  y
)  =  ( A `
 y ) )
4237, 41eleq12d 2153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
( ( ( A  |`  B ) `  x
)  e.  ( ( A  |`  B ) `  y )  <->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) )
4342imbi2d 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
( ( x  e.  y  ->  ( ( A  |`  B ) `  x )  e.  ( ( A  |`  B ) `
 y ) )  <-> 
( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) ) )
4443ralbidva 2369 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  ->  ( A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( ( A  |`  B ) `  x
)  e.  ( ( A  |`  B ) `  y ) )  <->  A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
4544ralbiia 2385 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  e.  ( ( A  |`  B ) `  y
) )  <->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) )
4631, 45sylibr 132 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  -> 
( A `  x
)  e.  ( A `
 y ) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( ( A  |`  B ) `  x
)  e.  ( ( A  |`  B ) `  y ) ) )
4746a1i 9 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( A. x  e. 
dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  e.  ( ( A  |`  B ) `  y
) ) ) )
4814, 23, 473anim123d 1251 . . 3  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( ( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom 
A  /\  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) )  -> 
( ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On  /\  Ord  dom  ( A  |`  B )  /\  A. x  e. 
dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  e.  ( ( A  |`  B ) `  y
) ) ) ) )
49 df-smo 5956 . . 3  |-  ( Smo 
A  <->  ( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom 
A  /\  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
50 df-smo 5956 . . 3  |-  ( Smo  ( A  |`  B )  <-> 
( ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On  /\  Ord  dom  ( A  |`  B )  /\  A. x  e. 
dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  e.  ( ( A  |`  B ) `  y
) ) ) )
5148, 49, 503imtr4g 203 . 2  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( Smo  A  ->  Smo  ( A  |`  B ) ) )
5251impcom 123 1  |-  ( ( Smo  A  /\  B  e.  dom  A )  ->  Smo  ( A  |`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353    i^i cin 2981    C_ wss 2982   Ord word 4145   Oncon0 4146   dom cdm 4391   ran crn 4392    |` cres 4393   Fun wfun 4946    Fn wfn 4947   -->wf 4948   ` cfv 4952   Smo wsmo 5955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-tr 3896  df-iord 4149  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-smo 5956
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