Theorem smores 6182

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
smores	|- ( ( Smo A /\ B e. dom A ) -> Smo ( A |` B ) )

Proof of Theorem smores

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5159	. . . . . . . 8 |- ( Fun A -> Fun ( A |` B ) )
2		funfn 5148	. . . . . . . 8 |- ( Fun A <-> A Fn dom A )
3		funfn 5148	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( A |` B ) <-> ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) )
4	1, 2, 3	3imtr3i 199	. . . . . . 7 |- ( A Fn dom A -> ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) )
5		resss 4838	. . . . . . . . 9 |- ( A |` B ) C_ A
6		rnss 4764	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` B ) C_ A -> ran ( A |` B ) C_ ran A )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ran ( A |` B ) C_ ran A
8		sstr 3100	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( A |` B ) C_ ran A /\ ran A C_ On ) -> ran ( A |` B ) C_ On )
9	7, 8	mpan 420	. . . . . . 7 |- ( ran A C_ On -> ran ( A |` B ) C_ On )
10	4, 9	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( A Fn dom A /\ ran A C_ On ) -> ( ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) /\ ran ( A |` B ) C_ On ) )
11		df-f 5122	. . . . . 6 |- ( A : dom A --> On <-> ( A Fn dom A /\ ran A C_ On ) )
12		df-f 5122	. . . . . 6 |- ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On <-> ( ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) /\ ran ( A |` B ) C_ On ) )
13	10, 11, 12	3imtr4i 200	. . . . 5 |- ( A : dom A --> On -> ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( A : dom A --> On -> ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On ) )
15		ordelord 4298	. . . . . . 7 |- ( ( Ord dom A /\ B e. dom A ) -> Ord B )
16	15	expcom 115	. . . . . 6 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord B ) )
17		ordin 4302	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ Ord dom A ) -> Ord ( B i^i dom A ) )
18	17	ex 114	. . . . . 6 |- ( Ord B -> ( Ord dom A -> Ord ( B i^i dom A ) ) )
19	16, 18	syli 37	. . . . 5 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord ( B i^i dom A ) ) )
20		dmres 4835	. . . . . 6 |- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )
21		ordeq 4289	. . . . . 6 |- ( dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A ) -> ( Ord dom ( A |` B ) <-> Ord ( B i^i dom A ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( Ord dom ( A |` B ) <-> Ord ( B i^i dom A ) )
23	19, 22	syl6ibr 161	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord dom ( A |` B ) ) )
24		dmss 4733	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` B ) C_ A -> dom ( A |` B ) C_ dom A )
25	5, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( A |` B ) C_ dom A
26		ssralv 3156	. . . . . . . 8 |- ( dom ( A |` B ) C_ dom A -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
28		ssralv 3156	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( A |` B ) C_ dom A -> ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
29	25, 28	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
30	29	ralimi 2493	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
31	27, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
32		inss1 3291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i dom A ) C_ B
33	20, 32	eqsstri 3124	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( A |` B ) C_ B
34		simpl 108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> x e. dom ( A |` B ) )
35	33, 34	sseldi 3090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> x e. B )
36		fvres 5438	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> ( ( A |` B ) ` x ) = ( A ` x ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( A |` B ) ` x ) = ( A ` x ) )
38		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> y e. dom ( A |` B ) )
39	33, 38	sseldi 3090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> y e. B )
40		fvres 5438	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. B -> ( ( A |` B ) ` y ) = ( A ` y ) )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( A |` B ) ` y ) = ( A ` y ) )
42	37, 41	eleq12d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) <-> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
43	42	imbi2d 229	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
44	43	ralbidva 2431	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( A |` B ) -> ( A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
45	44	ralbiia 2447	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
46	31, 45	sylibr 133	. . . . 5 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) )
47	46	a1i 9	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) )
48	14, 23, 47	3anim123d 1297	. . 3 |- ( B e. dom A -> ( ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) -> ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On /\ Ord dom ( A |` B ) /\ A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) ) )
49		df-smo 6176	. . 3 |- ( Smo A <-> ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
50		df-smo 6176	. . 3 |- ( Smo ( A |` B ) <-> ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On /\ Ord dom ( A |` B ) /\ A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) )
51	48, 49, 50	3imtr4g 204	. 2 |- ( B e. dom A -> ( Smo A -> Smo ( A |` B ) ) )
52	51	impcom 124	1 |- ( ( Smo A /\ B e. dom A ) -> Smo ( A |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   i^i cin 3065   C_ wss 3066   Ord word 4279   Oncon0 4280   dom cdm 4534   ran crn 4535   |` cres 4536   Fun wfun 5112   Fn wfn 5113   -->wf 5114   ` cfv 5118   Smo wsmo 6175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-iord 4283  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-smo 6176

This theorem is referenced by:  smores3  6183