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Theorem snnex 4207
Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
snnex  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem snnex
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vprc 3917 . . . 4  |-  -.  _V  e.  _V
2 vsnid 3434 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
{ z }
3 a9ev 1628 . . . . . . . . . 10  |-  E. y 
y  =  z
4 sneq 3417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  { z }  =  { y } )
54equcoms 1635 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  { z }  =  { y } )
63, 5eximii 1534 . . . . . . . . 9  |-  E. y { z }  =  { y }
7 vex 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
87snex 3965 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  _V
9 eleq2 2143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  {
z } ) )
10 eqeq1 2088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { z }  ->  ( x  =  { y }  <->  { z }  =  { y } ) )
1110exbidv 1747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( E. y  x  =  { y } 
<->  E. y { z }  =  { y } ) )
129, 11anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { z }  ->  ( ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } )  <->  ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } ) ) )
138, 12spcev 2693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } ) )
142, 6, 13mp2an 417 . . . . . . . 8  |-  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } )
15 eluniab 3621 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } ) )
1614, 15mpbir 144 . . . . . . 7  |-  z  e. 
U. { x  |  E. y  x  =  { y } }
1716, 72th 172 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  z  e.  _V )
1817eqriv 2079 . . . . 5  |-  U. {
x  |  E. y  x  =  { y } }  =  _V
1918eleq1i 2145 . . . 4  |-  ( U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V 
<->  _V  e.  _V )
201, 19mtbir 629 . . 3  |-  -.  U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V
21 uniexg 4201 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V  ->  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
2220, 21mto 621 . 2  |-  -.  {
x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V
2322nelir 2343 1  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   {cab 2068    e/ wnel 2340   _Vcvv 2602   {csn 3406   U.cuni 3609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-nel 2341  df-rex 2355  df-v 2604  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-uni 3610
This theorem is referenced by:  fiprc  6360
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