Theorem snnex 4369

Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
snnex	|- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem snnex

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4060	. . . 4 |- -. _V e. _V
2		vsnid 3557	. . . . . . . . 9 |- z e. { z }
3		a9ev 1675	. . . . . . . . . 10 |- E. y y = z
4		sneq 3538	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> { z } = { y } )
5	4	equcoms 1684	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> { z } = { y } )
6	3, 5	eximii 1581	. . . . . . . . 9 |- E. y { z } = { y }
7		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
8	7	snex 4109	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
9		eleq2 2203	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( z e. x <-> z e. { z } ) )
10		eqeq1 2146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { z } -> ( x = { y } <-> { z } = { y } ) )
11	10	exbidv 1797	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( E. y x = { y } <-> E. y { z } = { y } ) )
12	9, 11	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z } -> ( ( z e. x /\ E. y x = { y } ) <-> ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) ) )
13	8, 12	spcev 2780	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) -> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
14	2, 6, 13	mp2an 422	. . . . . . . 8 |- E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } )
15		eluniab 3748	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
16	14, 15	mpbir 145	. . . . . . 7 |- z e. U. { x | E. y x = { y } }
17	16, 7	2th 173	. . . . . 6 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> z e. _V )
18	17	eqriv 2136	. . . . 5 |- U. { x | E. y x = { y } } = _V
19	18	eleq1i 2205	. . . 4 |- ( U. { x | E. y x = { y } } e. _V <-> _V e. _V )
20	1, 19	mtbir 660	. . 3 |- -. U. { x | E. y x = { y } } e. _V
21		uniexg 4361	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e. _V -> U. { x | E. y x = { y } } e. _V )
22	20, 21	mto 651	. 2 |- -. { x | E. y x = { y } } e. _V
23	22	nelir 2406	1 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   e/ wnel 2403   _Vcvv 2686   {csn 3527   U.cuni 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-nel 2404  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-uni 3737

This theorem is referenced by:  fiprc  6709