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Theorem soss 4098
Description: Subset theorem for the strict ordering predicate. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
soss  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Or  B  ->  R  Or  A ) )

Proof of Theorem soss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poss 4082 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Po  B  ->  R  Po  A ) )
2 ssel 3003 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  B )
)
3 ssel 3003 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  B ) )
4 ssel 3003 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  B ) )
52, 3, 43anim123d 1251 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) ) )
65imim1d 74 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
762alimdv 1804 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. y A. z ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) )  ->  A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
87alimdv 1802 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
9 r3al 2413 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
10 r3al 2413 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
118, 9, 103imtr4g 203 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) ) )
121, 11anim12d 328 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( R  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )  ->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
13 df-iso 4081 . 2  |-  ( R  Or  B  <->  ( R  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
14 df-iso 4081 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
1512, 13, 143imtr4g 203 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Or  B  ->  R  Or  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662    /\ w3a 920   A.wal 1283    e. wcel 1434   A.wral 2353    C_ wss 2983   class class class wbr 3806    Po wpo 4078    Or wor 4079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-in 2989  df-ss 2996  df-po 4080  df-iso 4081
This theorem is referenced by:  soeq2  4100
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