Theorem soss 4098

Description: Subset theorem for the strict ordering predicate. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
soss	|- ( A C_ B -> ( R Or B -> R Or A ) )

Proof of Theorem soss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poss 4082	. . 3 |- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )
2		ssel 3003	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
3		ssel 3003	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( y e. A -> y e. B ) )
4		ssel 3003	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( z e. A -> z e. B ) )
5	2, 3, 4	3anim123d 1251	. . . . . . 7 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) )
6	5	imim1d 74	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
7	6	2alimdv 1804	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
8	7	alimdv 1802	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( A. x A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
9		r3al 2413	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
10		r3al 2413	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
11	8, 9, 10	3imtr4g 203	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
12	1, 11	anim12d 328	. 2 |- ( A C_ B -> ( ( R Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
13		df-iso 4081	. 2 |- ( R Or B <-> ( R Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
14		df-iso 4081	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
15	12, 13, 14	3imtr4g 203	1 |- ( A C_ B -> ( R Or B -> R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 662   /\ w3a 920   A.wal 1283   e. wcel 1434   A.wral 2353   C_ wss 2983   class class class wbr 3806   Po wpo 4078   Or wor 4079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-in 2989  df-ss 2996  df-po 4080  df-iso 4081

This theorem is referenced by:  soeq2  4100