ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sotri Unicode version

Theorem sotri 4750
Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
soi.1  |-  R  Or  S
soi.2  |-  R  C_  ( S  X.  S
)
Assertion
Ref Expression
sotri  |-  ( ( A R B  /\  B R C )  ->  A R C )

Proof of Theorem sotri
StepHypRef Expression
1 soi.2 . . . . 5  |-  R  C_  ( S  X.  S
)
21brel 4418 . . . 4  |-  ( A R B  ->  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )
)
32simpld 110 . . 3  |-  ( A R B  ->  A  e.  S )
41brel 4418 . . 3  |-  ( B R C  ->  ( B  e.  S  /\  C  e.  S )
)
53, 4anim12i 331 . 2  |-  ( ( A R B  /\  B R C )  -> 
( A  e.  S  /\  ( B  e.  S  /\  C  e.  S
) ) )
6 soi.1 . . . 4  |-  R  Or  S
7 sotr 4081 . . . 4  |-  ( ( R  Or  S  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  C  e.  S
) )  ->  (
( A R B  /\  B R C )  ->  A R C ) )
86, 7mpan 415 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  C  e.  S )  ->  ( ( A R B  /\  B R C )  ->  A R C ) )
983expb 1140 . 2  |-  ( ( A  e.  S  /\  ( B  e.  S  /\  C  e.  S
) )  ->  (
( A R B  /\  B R C )  ->  A R C ) )
105, 9mpcom 36 1  |-  ( ( A R B  /\  B R C )  ->  A R C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    e. wcel 1434    C_ wss 2974   class class class wbr 3793    Or wor 4058    X. cxp 4369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377
This theorem is referenced by:  son2lpi  4751  ltsonq  6650  lt2addnq  6656  lt2mulnq  6657  ltbtwnnqq  6667  prarloclemarch2  6671  genplt2i  6762  addlocprlemgt  6786  nqprloc  6797  prmuloclemcalc  6817  ltsopr  6848  ltexprlemopl  6853  ltexprlemopu  6855  ltexprlemru  6864  prplnqu  6872  recexprlemlol  6878  recexprlemupu  6880  recexprlemdisj  6882  recexprlemss1l  6887  recexprlemss1u  6888  cauappcvgprlemopl  6898  cauappcvgprlemlol  6899  cauappcvgprlemupu  6901  cauappcvgprlemladdfu  6906  caucvgprlemk  6917  caucvgprlemnkj  6918  caucvgprlemnbj  6919  caucvgprlemm  6920  caucvgprlemopl  6921  caucvgprlemlol  6922  caucvgprlemupu  6924  caucvgprlemloc  6927  caucvgprlemladdfu  6929  caucvgprprlemk  6935  caucvgprprlemloccalc  6936  caucvgprprlemnkltj  6941  caucvgprprlemnkeqj  6942  caucvgprprlemnjltk  6943  caucvgprprlemnbj  6945  caucvgprprlemml  6946  caucvgprprlemopl  6949  caucvgprprlemlol  6950  caucvgprprlemupu  6952  lttrsr  7001  addgt0sr  7014  archsr  7020  caucvgsrlemcl  7027  caucvgsrlemfv  7029  axpre-lttrn  7112
  Copyright terms: Public domain W3C validator